[論文レビュー] Fast-slow systems with Bogdanov-Takens type fold points

Hayato Chiba|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2008

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、速い・遅い系における速い部分系にボグダンォフ＝ターケンス分岐点を有する系について、幾何学的特異摂動論および吹き上げ法を用いて、安定な周期的軌道およびカオス的不変集合の存在を確立する。主な結果として、折りたたみ点近傍の遅い多様体が、第一パンルベ方程式のブートルックスのトリトロンクエ解に沿って吹き上げ空間にまで延長されることである。

ABSTRACT

The existence of stable periodic orbits and chaotic invariant sets of singularly perturbed problems of fast-slow type having Bogdanov-Takens bifurcation points in its fast subsystem is proved by means of the geometric singular perturbation method and the blow-up method. In particular, the blow-up method is effectively used for analyzing the flow near the Bogdanov-Takens type fold point in order to show that a slow manifold near the fold point is extended along the Boutroux's tritronquee solution of the first Painleve equation in the blow-up space.

研究の動機と目的

• 特異摂動された速い・遅い系におけるボグダンォフ＝ターケンス型折りたたみ点の近傍の力学を分析すること。
• このような系において安定な周期的軌道およびカオス的不変集合の存在を確立すること。
• 高度な幾何的技法を用いて、折りたたみ点近傍の遅い多様体を吹き上げ空間へと拡張すること。
• 折りたたみ点近傍の振る舞いと第一パンルベ方程式のトリトロンクエ解を結びつけること。

提案手法

• 速い・遅い系における遅い多様体を分析するための幾何学的特異摂動論の適用。
• ボグダンォフ＝ターケンス折りたたみ点における特異性を解消するための吹き上げ法の使用。
• 臨界多様体の近傍での流れを調べるために、系を吹き上げ座標に変換すること。
• 漸近的手法を用いて吹き上げ空間における拡張された遅い多様体を分析すること。
• 遅い多様体の継続が、第一パンルベ方程式のブートルックスのトリトロンクエ解に沿うことを同定すること。
• 力学系技法と特殊関数の解を組み合わせることで、局所的流れ構造を記述すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速い部分系にボグダンォフ＝ターケンス分岐点を有する速い・遅い系は、折りたたみ点の近傍でどのように振る舞うか？
• RQ2 特異摂動系におけるボグダンォフ＝ターケンス型折りたたみ点の近傍における遅い多様体の構造は何か？
• RQ3 このような系において、吹き上げ法を用いて折りたたみ点を越えて遅い多様体を拡張できるか？
• RQ4 第一パンルベ方程式のトリトロンクエ解は、折りたたみ点近傍の力学とどのように関係しているか？
• RQ5 これらの系に現れる不変集合の種類として、周期的またはカオス的であるものはどのようなものか？

主な発見

• 速い部分系にボグダンォフ＝ターケンス折りたたみ点を有する速い・遅い系において、安定な周期的軌道が存在することが示された。
• 同じクラスの系において、カオス的不変集合が存在することが証明された。
• 折りたたみ点近傍の遅い多様体が、吹き上げ法を用いて吹き上げ空間へと拡張された。
• 遅い多様体の拡張は、第一パンルベ方程式のブートルックスのトリトロンクエ解に従った。
• 吹き上げ法はボグダンォフ＝ターケンス折りたたみ点における特異性を効果的に解消し、詳細な流れ解析を可能にした。
• 折りたたみ点近傍の力学は、幾何的変換を通じて第一パンルベ方程式の特別解と解析的に結びつけられた。