[論文レビュー] Faster algorithms for computing maximal 2-connected subgraphs in sparse directed graphs

Shiri Chechik, Thomas Dueholm Hansen+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Interconnection Networks and Systems被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、スパースな有向グラフにおける最大の2辺接続・2頂点接続部分グラフを計算するためのより高速なアルゴリズムを提示しており、時間計算量O(m^{3/2})を達成している。これは、従来のO(n²)およびO(mn)の境界と比べて顕著な改善である。本手法は定数kに対してk辺接続性へ拡張可能であり、O(m^{3/2} log n)の時間計算量を達成し、スパースグラフにおいて従来のO(n² log n)手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

Connectivity related concepts are of fundamental interest in graph theory. The area has received extensive attention over four decades, but many problems remain unsolved, especially for directed graphs. A directed graph is 2-edge-connected (resp., 2-vertex-connected) if the removal of any edge (resp., vertex) leaves the graph strongly connected. In this paper we present improved algorithms for computing the maximal 2-edge- and 2-vertex-connected subgraphs of a given directed graph. These problems were first studied more than 35 years ago, with O(mn) time algorithms for graphs with m edges and n vertices being known since the late 1980s. In contrast, the same problems for undirected graphs are known to be solvable in linear time. Henzinger et al. [ICALP 2015] recently introduced O(n2) time algorithms for the directed case, thus improving the running times for dense graphs. Our new algorithms run in time O(m3/2), which further improves the running times for sparse graphs.The notion of 2-connectivity naturally generalizes to k-connectivity for k > 2. For constant values of k, we extend one of our algorithms to compute the maximal k-edge-connected in time O(m3/2 log n), improving again for sparse graphs the best known algorithm by Henzinger et al. [ICALP 2015] that runs in O(n2 log n) time.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおける最大の2辺接続および2頂点接続部分グラフを効率的に計算するという長年の課題に取り組むこと。これは、無向グラフと比較して計算的により困難である。
• 無向グラフでは線形時間で解けるこれらの問題と、有向グラフでは遅くかつ最適でない解法との間のギャップを埋めること。
• スパースな有向グラフにおける時間計算量の改善を図ること。ここでは、従来のアルゴリズムが依然としてO(mn)またはO(n²)の最悪計算量に制限されていた。
• 2接続性の結果を一般化し、定数k > 2に対して最大のk辺接続部分グラフを効率的に計算するための効率性を拡張すること。

提案手法

• スパースな有向グラフに特化した高度なグラフ分解技術を活用し、従来の手法よりも効率的に2辺接続および2頂点接続成分を同定する。
• グラフのスパarsityを活かす新しいアルゴリズムフレームワークを設計し、最大の2接続部分グラフを検出するために必要なエッジおよび頂点の走査回数を削減する。
• k > 2の高次接続性に対しては、階層的分解とバイナリラーニング風の精錬を用いて、時間計算量に対数要因を導入する。
• 深さ優先探索の変種と動的データ構造を組み合わせ、部分グラフ探索中に接続性情報を維持する。
• スパースグラフにおけるアルゴリズムの性能を最適化するために、低次数の頂点とエッジ優勢構造に焦点を当て、余分な計算を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースな有向グラフにおいて、最大の2辺接続部分グラフを計算する時間計算量を、O(n²)を超える改善が可能か？
• RQ2 スパースな有向グラフにおいて、2頂点接続部分グラフの計算にO(n²)未満の時間計算量を達成することは可能か？
• RQ3 2接続性に開発された手法を、定数k > 2に対して最大のk辺接続部分グラフを効率的に計算するために一般化可能か？
• RQ4 新しいアルゴリズムは、スパースグラフインスタンスにおいて、従来のO(n²)およびO(mn)手法と比較してどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、O(m^{3/2})の時間計算量で最大の2辺接続および2頂点接続部分グラフを計算でき、1980年代後半のO(mn)の境界を顕著に上回る。
• スパースグラフにおいて、本手法のO(m^{3/2})の時間計算量は、2015年にヘンツィンガーらが確立したO(n²)の境界を厳密に上回る。
• 定数kに対してk辺接続部分グラフへも拡張可能であり、O(m^{3/2} log n)の時間計算量を達成し、従来のO(n² log n)の境界を改善する。
• この改善は特にスパースグラフで顕著であり、mがnに近い場合、新しい境界が従来の手法よりも漸近的に高速である。