[論文レビュー] Faster algorithms for counting subgraphs in sparse graphs

Marco Bressan|arXiv (Cornell University)|May 5, 2018

Graph Theory and Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、グラフの退化度を活用する新しい木構造的分解を導入することで、スパースなグラフにおける部分グラフの数え上げを高速化するアルゴリズムを提示する。この手法により、有界退化度グラフでは 2^O(k²) · O(n^{0.25k+2} log n)、有界平均次数グラフでは 2^O(k²) · O(n^{0.625k+2} log n) の時間で部分グラフの数え上げが可能となり、スパarsityが存在する際には古典的な Nešetřil-Poljak の境界 O(n^{0.791k+2}) よりも改善される。このアプローチは指数時間仮説（ETH）のもとで最適であることが示された。

ABSTRACT

Given a $k$-node pattern graph $H$ and an $n$-node host graph $G$, the subgraph counting problem asks to compute the number of copies of $H$ in $G$. In this work we address the following question: can we count the copies of $H$ faster if $G$ is sparse? We answer in the affirmative by introducing a novel tree-like decomposition for directed acyclic graphs, inspired by the classic tree decomposition for undirected graphs. This decomposition gives a dynamic program for counting the homomorphisms of $H$ in $G$ by exploiting the degeneracy of $G$, which allows us to beat the state-of-the-art subgraph counting algorithms when $G$ is sparse enough. For example, we can count the induced copies of any $k$-node pattern $H$ in time $2^{O(k^2)} O(n^{0.25k + 2} \log n)$ if $G$ has bounded degeneracy, and in time $2^{O(k^2)} O(n^{0.625k + 1} \log n)$ if $G$ has bounded average degree. These bounds are instantiations of a more general result, parameterized by the degeneracy of $G$ and the structure of $H$, which generalizes classic bounds on counting cliques and complete bipartite graphs. We also give lower bounds based on the Exponential Time Hypothesis, showing that our results are actually a characterization of the complexity of subgraph counting in bounded-degeneracy graphs.

研究の動機と目的

• グラフのスパarsityを活用することで、部分グラフ数え上げにおける n^{Θ(k)} の実行時間の壁を克服すること。
• 有向非巡回グラフに特化した、退化度を活用する新しい木構造的分解を考案すること。
• 有界退化度または平均次数を持つスパースグラフにおいて、Nešetřil-Poljak アルゴリズムを上回るより速い実行時間の達成。
• 指数時間仮説（ETH）を用いて、有界退化度グラフにおける部分グラフ数え上げの正確な複雑度を特定すること。

提案手法

• 非巡回グラフに特化した、従来の無向木分解を模倣したが、退化度を活用するように変更された新しい木構造的分解を導入する。
• 分解上で動的計画法を用いて、ホストグラフ G における k 頂点のパターン H の同型写像、出現回数、誘導部分グラフの数え上げを実行する。
• ホストグラフ G の退化度 d とパターン H の幅測度 τ(H) をパラメータとして用い、f(k) · O(d^{k−τ(H)} n^{τ(H)} log n) の時間で実行可能となる。
• 誘導部分グラフと非誘導部分グラフの両方の数え上げに対して、同型写像と誘導部分グラフを別々に処理することで、境界を導出する。
• 指数時間仮説を用いて下界を示し、有界退化度グラフにおいて本アルゴリズムが最適であることを証明する。
• クライQUEや完全二部グラフの数え上げに関する古典的結果を統一的に扱うフレームワークとして一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホストグラフ G がスパース、特に有界退化度である場合、部分グラフ数え上げを高速化できるか？
• RQ2 ホストグラフ G の退化度を活用するための、パターングラフ H の構造的分解は存在するか？
• RQ3 有界退化度グラフにおける誘導部分グラフの数え上げの正確な複雑度は何か？ そして、それを特定できるか？
• RQ4 スパースグラフにおいて、Nešetřil-Poljak の境界を上回る実行時間を達成できるか？ その条件は何か？

主な発見

• 本稿では、有界退化度グラフにおける任意の k 頂点パターン H の誘導部分グラフの数え上げについて、2^O(k²) · O(n^{0.25k+2} log n) の実行時間を達成し、Nešetřil と Poljak の O(n^{0.791k+2}) の境界を改善した。
• 平均次数 r が有界なグラフでは、2^O(k²) · O(r^{1/2(k−⌊k/4⌋)−1} n^{1/2(k+⌊k/4⌋)+1} log n) の実行時間となり、r が n に対して非線形でない場合、n の指数部が削減される。
• 指数時間仮説のもとで、本アルゴリズムの性能は最適であり、退化度 2 のグラフでは下界 n^{Ω(τ(H)/log τ(H))} と一致する。
• 提案された木構造的分解は、スパースな状況下におけるクリークや完全二部グラフの数え上げに関する先行研究を一般化・統一する。
• 退化度が有界である場合、n の多項式的指数部を 0.25k+2 まで削減でき、これにより十分にスパースなグラフにおいて、最先端の手法を上回る性能を達成した。