[論文レビュー] Faster Algorithms for Integer Programs with Block Structure

Friedrich Eisenbrand, Christoph Hunkenschröder+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Optimization and Search Problems被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、Steinitzの補題を用いたGraver基底要素に対する新しいℓ1ノルムの上限を導入することで、一般化n-foldおよび木構造fold IPを含むブロック構造を持つ整数計画問題のためのより高速なアルゴリズムを提示する。主な結果は、$ n^2 t^2 \rho \cdot (rs\Delta)^{O(rs^2 + sr^2)} $ の実行時間であり、以前の $ n^3 t^3 \rho \cdot \Delta^{O(t^2 s)} $ の境界を改善しており、列数 $ t $ に指数関数的依存しない。

ABSTRACT

We consider integer programming problems max {c^Tx : A x = b, l <= x <= u, x in Z^{nt}} where A has a (recursive) block-structure generalizing n-fold integer programs which recently received considerable attention in the literature. An n-fold IP is an integer program where A consists of n repetitions of submatrices A in Z^{r × t} on the top horizontal part and n repetitions of a matrix B in Z^{s × t} on the diagonal below the top part. Instead of allowing only two types of block matrices, one for the horizontal line and one for the diagonal, we generalize the n-fold setting to allow for arbitrary matrices in every block. We show that such an integer program can be solved in time n^2t^2 phi x (r s delta)^{O(rs^2+ sr^2)} (ignoring logarithmic factors). Here delta is an upper bound on the largest absolute value of an entry of A and phi is the largest binary encoding length of a coefficient of c. This improves upon the previously best algorithm of Hemmecke, Onn and Romanchuk that runs in time n^3t^3 phi x delta^{O(st(r+t))}. In particular, our algorithm is not exponential in the number t of columns of A and B. Our algorithm is based on a new upper bound on the l_1-norm of an element of the Graver basis of an integer matrix and on a proximity bound between the LP and IP optimal solutions tailored for IPs with block structure. These new bounds rely on the Steinitz Lemma. Furthermore, we extend our techniques to the recently introduced tree-fold IPs, where we again present a more efficient algorithm in a generalized setting.

研究の動機と目的

• 再帰的ブロック構造を持つ整数計画問題のためのより高速なアルゴリズムの開発。n-foldおよび木構造fold IPの一般化を目的とする。
• 従来のアルゴリズムにおける列数 $ t $ に指数関数的依存する問題の克服。
• ブロック構造を持つ行列に対するGraver基底要素のℓ1ノルムの tighter な境界の確立。
• ブロック構造に特化したLPとIP解の近接性に関する境界を活用し、効率的な増分ステップを実現。

提案手法

• Steinitzの補題を用いて、Graver基底要素のℓ1ノルムに対する新しい上界を導出し、$ (2m\Delta + 1)^m $ を得る。これは列数 $ n $ に依存しない。
• この上界を用いて、新しいノルム境界による探索空間の制限により、ブロック構造IPのための効率的な増分アルゴリズムを設計。
• LPとIP最適解の間の近接性結果 $ \|x^* - z^*\|_1 \leq nL_\tau $ を用い、増分ステップの回数を削減。
• 各レイヤーが列に対応する動的計画法のグラフを構築し、各レイヤーのサイズは $ (2\Delta L_\tau + 1)^\sigma $ で抑えられ、$ \sigma $ はレイヤー全体の行数の合計である。
• 一般化されたブロック構造を用いて、サイクルを部分行列のGraver基底要素に分解し、部分和が有界に保たれるようにSteinitz列による再順序化を実施。
• 木構造fold IPに対しては、再帰的に部分木構造のGraver基底要素を境界化し、同じSteinitzに基づく分解を用いて組み合わせることで、再帰的に手法を適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック構造を持つ整数計画問題におけるGraver基底要素のℓ1ノルムは、列数 $ n $ に依存せずに境界づけられるか？
• RQ2 ブロック構造を持つIPにおけるLP緩和解と整数最適解の間の、最もタイトな近接性境界は何か？
• RQ3 ブロック構造IPの増分アルゴリズムの実行時間を、列数 $ t $ に関して多項式時間に保てるか？（指数関数的依存を回避できるか？）
• RQ4 Steinitzの補題は、再帰的ブロック構造におけるGraver基底要素の新しい境界を導出するためにどのように応用可能か？
• RQ5 n-fold IPに用いられる技術は、木構造foldおよびより一般的なブロック構造を持つIPへと、より効率的に一般化可能か？

主な発見

• 任意のブロック構造を持つ行列 $ A \in \mathbb{Z}^{m \times n} $ のGraver基底要素のℓ1ノルムは、$ (2m\Delta + 1)^m $ で抑えられ、列数 $ n $ に依存しない。ここで $ \Delta $ は $ A $ の絶対値の最大値である。
• n-fold IPの一般化として $ n $ 個のブロックを持つ場合、アルゴリズムの実行時間は $ n^2 t^2 \rho \cdot (rs\Delta)^{O(rs^2 + sr^2)} $ であり、以前の $ n^3 t^3 \rho \cdot \Delta^{O(t^2 s)} $ よりも改善されている。
• LPとIP最適解の間の近接性境界は $ \|x^* - z^*\|_1 \leq nL_\tau $ であり、$ L_\tau $ は木構造fold構造のGraver基底要素の上限である。
• 木構造fold IPの場合、アルゴリズムの実行時間は $ n^2 \rho \log^2 n \cdot (s\Delta)^{O(\sigma s)} + \text{LP} $ であり、$ \sigma $ はレイヤー全体の行数の合計、$ s $ はレイヤーのサイズの積である。
• Graver基底要素に対する新しい境界のおかげで、探索空間が著しく小さくなり、増分ステップの回数が削減され、全体の効率が向上する。
• 再帰的にGraver基底要素を境界化し、Steinitzに基づくサイクル成分の再順序化を用いることで、任意の再帰的ブロック構造（木構造fold IPを含む）へと一般化可能である。