[論文レビュー] Faster Approximation Schemes for Fractional Multicommodity Flow Problems via Dynamic Graph Algorithms

Aleksander Mądry|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Garg-KönemannおよびFleischerフレームワークと動的グラフアルゴリズムを統合することで、分数 multicommodity flow 問題に対するより高速な (1−ε)-近似スキームを提示する。近似距離オラクルを効率的な更新で維持するための集約長さ関数と階層的データ構造を用いることで、近似的に最適な実行時間を達成し、poly-logarithmic 要因を除いて Ω(mn) のフロー分解の壁に一致する。

ABSTRACT

We combine the work of Garg and Konemann, and Fleischer with ideas from dynamic graph algorithms to obtain faster (1-eps)-approximation schemes for various versions of the multicommodity flow problem. In particular, if eps is moderately small and the size of every number used in the input instance is polynomially bounded, the running times of our algorithms match - up to poly-logarithmic factors and some provably optimal terms - the Omega(mn) flow-decomposition barrier for single-commodity flow.

研究の動機と目的

• 動的グラフデータ構造を活用することで、multicommodity flow 近似における Ω(mn) のフロー分解の壁を克服すること。
• 既存の (1−ε)-近似スキームの実行時間を改善すること。
• 1/ε や k や M などのパラメータに依存する部分を減らし、正しさと効率性を維持すること。
• 長さの変更に対して効率的な更新とクエリをサポートする動的近似距離オラクルを設計すること。
• 階層的丸めと長さ更新のアムortized解析を組み合わせることで、近似的に最適なパフォーマンスを達成すること。

提案手法

• 動的長さ更新に耐える近似距離と経路を維持する (δ, Mmax, Mmin, bP)-ADSP データ構造を導入する。
• 各レベル Rb で幾何的スケーリングを用いた複数レベルの階層的丸めを実施する。
• 累積的な長さ増加を追跡する集約長さ関数 ˆl を用い、データ構造への更新を延期する。
• 長さのしきい値に基づいて Rb 構造内のアークを無効化・再有効化することで、1アークあたりの更新回数を制限する。
• ˆl(e) が顕著に増加する場合にのみ、Increase(e, ω) 請求をバッチ処理することで、総更新コストを削減する。
• アムortized解析を用いて全更新の総時間を束縛し、eO(mn log Mmax/Mmin / δ) の総維持時間を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的グラフアルゴリズムは、分数 multicommodity flow 問題の近似スキームの高速化に利用可能か？
• RQ2 multicommodity flow 問題において、近似精度 ε と実行時間の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 効率的な長さ更新をサポートする動的データ構造を用いることで、高コストな最短経路計算の回数を減らせるか？
• RQ4 近似的に最適な実行時間（Ω(mn) のフロー分解の壁に一致）を維持しながら、(1−ε)-近似を達成することは可能か？
• RQ5 長さの更新をどのように集約・延期すれば、下位のデータ構造における総操作回数を削減できるか？

主な発見

• 提案された (δ, Mmax, Mmin, bP)-ADSP データ構造は、eO(mn log Mmax/Mmin / δ) の総維持時間で、近似距離、経路、単一始点距離クエリをサポートする。
• アルゴリズムは、最大 multicommodity flow に対して (1−ε)-近似を eO(m²ε⁻²) 時間で達成し、poly-logarithmic 要因を除いて既知の最良の境界に一致する。
• 重み付き multicommodity flow 問題では、実行時間が eO(m²ε⁻² min{log M, k}) となり、一部の環境では従来手法を改善する。
• 集約長さ関数 ˆl を用いたバッチ処理により、最短経路計算の回数が削減される。
• データ構造への Increase(·,·) 請求の総数は eO(m log Mmax/Mmin / δ) に束縛され、効率的なアムortized更新を可能にする。
• 階層的丸めと動的データ構造を組み合わせることで、理論的下界 Ω(mn) に poly-logarithmic 要因を除いて一致する近似的に最適なパフォーマンスを達成する。