[論文レビュー] Faster classical Boson Sampling

Peter Clifford, Raphaël Clifford|Bristol Research (University of Bristol)|May 7, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、乱数行列における行多重度の分布を活用することで、平均ケース性能を著しく向上させる古典的アルゴリズムを提示する。多重度の確率的解析と効率的なpermanent計算を組み合わせることで、$ m = n $ のとき平均ケース時間計算量が約$ O(n \cdot 1.69^n) $ にまで低下し、量子優位性を示すために必要な問題サイズを著しく削減する。

ABSTRACT

Since its introduction Boson Sampling has been the subject of intense study in the world of quantum computing. The task is to sample independently from the set of all $n imes n$ submatrices built from possibly repeated rows of a larger $m imes n$ complex matrix according to a probability distribution related to the permanents of the submatrices. Experimental systems exploiting quantum photonic effects can in principle perform the task at great speed. In the framework of classical computing, Aaronson and Arkhipov (2011) showed that exact Boson Sampling problem cannot be solved in polynomial time unless the polynomial hierarchy collapses to the third level. Indeed for a number of years the fastest known exact classical algorithm ran in $O({m+n-1 \choose n} n 2^n )$ time per sample, emphasising the potential speed advantage of quantum computation. The advantage was reduced by Clifford and Clifford (2018) who gave a significantly faster classical solution taking $O(n 2^n + \operatorname{poly}(m,n))$ time and linear space, matching the complexity of computing the permanent of a single matrix when $m$ is polynomial in $n$. We continue by presenting an algorithm for Boson Sampling whose average-case time complexity is much faster when $m$ is proportional to $n$. In particular, when $m = n$ our algorithm runs in approximately $O(n\cdot1.69^n)$ time on average. This result further increases the problem size needed to establish quantum computational supremacy via Boson Sampling.

研究の動機と目的

• 現在の実験で一般的な$ m \approx n $ の領域において、ボソンサンプリングをシミュレートする古典的計算コストを低減すること。
• 正確なボソンサンプリングの平均ケース時間計算量を向上させることで、理論的量子優位性と実用的古典的シミュレーションのギャップを埋めること。
• ボソンサンプリングによる量子計算優位性を確立するための問題サイズの tighter な下限を提供すること。
• ランダム行列における行選択の多重度配列に一様に分布する場合のpermanent計算の期待時間計算量を分析すること。

提案手法

• 選択された行の多重度配列$ \mathbf{s}^{(n)} $が、$ n $ を $ m $ 個の部分に分割する整数の組み合わせの集合$ \Phi_{m,n}^* $ 上で一様分布するとする確率的モデルを用いる。
• Lemma 2 を適用して、時間計算量の上限を定める積$ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ の期待値を計算する。
• Corollary 3 を用いて、$ k \times k $ の部分行列におけるpermanent計算の期待時間計算量を導出する。その際、恒等式$ \mathbb{E}\left[\prod (s_\nu^{(k)} + 1)\right] = \binom{m+k-1}{k}^{-1} \binom{2m+k-1}{k} $ を用いる。
• 各ステップ$ k \in [n] $ におけるpermanent計算の期待時間計算量を合算し、合計の期待時間計算量を導出する。この導出には和分および漸近的解析を用いる。
• Stirlingの近似を適用して、$ m = \theta n $ のときの期待時間計算量の式を漸近的に簡略化し、閉形式の指数的成長率を導出する。
• Theorem 5 を用いて、完全なボソンサンプリングアルゴリズムの平均ケース時間計算量を$ \mathcal{O}\left( \frac{n(m+n)}{m} \binom{m+n}{n+1}^{-1} \binom{2m+n}{n+1} + n^2 m \right) $ として上限付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 出力モード数$ m $ が光子数$ n $ に比例するとき、古典的ボソンサンプリングの平均ケース時間計算量はいかほどか？
• RQ2 異なる行選択の期待数は、ボソンサンプリングにおけるpermanent評価の計算コストにどのように影響するか？
• RQ3 行多重度分布の構造を活用することで、$ \mathcal{O}(n 2^n) $ の最悪ケース境界を著しく上回る古典的ボソンサンプリングの平均ケース性能を向上させられるか？
• RQ4 $ m = n $ のとき、期待時間計算量の漸近的成長率は何か？ また、従来の古典的アルゴリズムと比較するとどうなるか？
• RQ5 期待積$ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ は、古典的ボソンサンプリングアルゴリズムの性能にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• $ m = n $ のとき、提案されたアルゴリズムの平均ケース時間計算量は約$ O(n \cdot 1.69^n) $ にまで低下し、従来の$ O(n 2^n) $ の最悪ケース境界よりも顕著に改善されている。
• $ m = n $ のとき、$ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ の期待値は$ \sim 1.15 \cdot (1.69)^n $ に比例し、これはpermanent計算の平均ケースコストを直接決定する。
• $ m = \theta n $ のとき、漸近的時間計算量は$ \mathcal{O}\left( n \left[ \frac{(2\theta+1)^{2\theta+1}}{(4\theta)^\theta (\theta+1)^{\theta+1}} \right]^n \right) $ にまで低下し、$ \theta = 1 $ のとき$ O(n \cdot 1.69^n) $ に簡略化される。
• アルゴリズムの平均ケース計算量は、異なる行選択の期待数と多重集合の組み合わせ構造に基づき、組み合わせ的恒等式とStirlingの近似を用いて導出されている。
• この結果は、古典的シミュレーションが予想よりも大きな$ n $ でも可能になるため、ボソンサンプリングによる量子計算優位性を示すために必要な問題サイズは、従来の推定よりもさらに大きくなる必要があることを示唆している。
• 分析により、$ k \times k $ の部分行列におけるpermanent計算の期待時間は$ \mathcal{O}\left( k \cdot \binom{m+k-1}{k}^{-1} \binom{2m+k-1}{k} \right) $ に抑えられ、これが合計期待時間の上限として用いられている。