[論文レビュー] Faster Deciding MSO Properties of Trees of Fixed Height, and Some Consequences

Jakub Gajarský, Petr Hliněný|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Formal Methods in Verification被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、変数の数の素朴関数による上限を持つ核構造を導入することで、高さが有界な木における単調第二階論理（MSO）論理のモデルチェックイングアルゴリズムを高速化する。この結果、木幅が有界なグラフにおけるMSO2の決定可能性が向上し、シャブディープが有界なグラフにおけるMSO1の決定可能性も向上し、また、有界シャブディープクラスにおいて一階論理とMSO1が同じ表現力を有することを確立する。

ABSTRACT

We prove, in the universe of trees of bounded height, that for any MSO formula with m variables there exists a set of kernels such that the size of each of these kernels can be bounded by an elementary function of m. This yields a faster MSO model checking algorithm for trees of bounded height than the one for general trees. From that we obtain, by means of interpretation, corresponding results for the classes of graphs of bounded tree-depth (MSO2) and shrub-depth (MSO1), and thus we give wide generalizations of Lampis ’ (ESA 2010) and Ganian’s (IPEC 2011) results. In the second part of the paper we use this kernel structure to show that FO has the same expressive power as MSO1 on the graph classes of bounded shrub-depth. This makes bounded shrub-depth a good candidate for characterization of the hereditary classes of graphs on which FO and MSO1 coincide, a problem recently posed by Elberfeld, Grohe, and Tantau (LICS 2012).

研究の動機と目的

• 固定された高さの木におけるより効率的なMSOモデルチェックイングアルゴリズムの開発。
• Lampis (2010) と Ganian (2011) が得た有界木幅およびシャブディープグラフに関する先行結果の一般化。
• 遺伝的グラフクラスにおける一階論理（FO）と単調第二階論理（MSO1）の表現的同等性の探求。
• FOとMSO1が一致する境界を、特にシャブディープの文脈で特定すること。
• 有界シャブディープグラフクラスにおいてMSO1とFOが同じ表現力を有することを確立すること。

提案手法

• 高さが有界な木におけるMSO論理式の核構造を導入し、各核のサイズが変数の数の素朴関数によって上限付けられることを保証する。
• 解釈技術を用いて、木から木幅が有界なグラフ（MSO2）およびシャブディープが有界なグラフ（MSO1）への結果の移行を実現する。
• 核構造を活用して、高さが有界な木におけるより高速なMSOモデルチェックイングアルゴリズムを設計する。
• 論理的解釈を応用して、木からより広範なグラフクラスへの決定可能性結果の拡張を実現する。
• 核に基づく特徴付けを用いて、シャブディープクラスにおけるFOとMSO1の論理的表現力を分析する。
• 核構造を活用して、遺伝的クラスにおける有界シャブディープグラフクラスでFOとMSO1が同等の表現力を有することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さが有界な木におけるMSOモデルチェックイングは、一般の木よりも著しく高速化可能か？
• RQ2 有界高さの木における結果は、論理的解釈を用いて木幅が有界なグラフおよびシャブディープが有界なグラフへ拡張可能か？
• RQ3 一階論理と単調第二階論理（MSO1）が同じ表現力を有する自然なグラフクラスは存在するか？
• RQ4 どのようなグラフ構造的性質が、FOとMSO1が互いに定義可能であることを保証するか？
• RQ5 有界シャブディープは、FOとMSO1が一致する最大の遺伝的クラスとして特徴付けられるか？

主な発見

• 任意のm個の変数を含むMSO論理式に対して、高さが有界な木上に、そのサイズがmの素朴関数によって上限付けられる核構造が存在する。
• 得られた高さが有界な木におけるMSOモデルチェックイングアルゴリズムは、一般の木に対して既存のアルゴリズムよりも高速に動作する。
• 核に基づくアプローチにより、木幅が有界なグラフにおける効率的なMSO2モデルチェックイングが可能になる。
• この手法により、シャブディープが有界なグラフにおける効率的なMSO1モデルチェックイングが実現され、LampisとGanianの先行結果が一般化される。
• 有界シャブディープグラフクラスにおける一階論理（FO）とMSO1は、同じ表現力を有する。
• 有界シャブディープは、FOとMSO1が一致する遺伝的グラフクラスの完全な特徴付けとして強く候補となる。