[論文レビュー] Faster Distributed Shortest Path Approximations via Shortcuts

Bernhard Haeupler, Jason Li|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、低混雑度ショートカットを通じてネットワークトポロジーに適応する分散近似アルゴリズムを初めて提示し、Q（ショートカットの質）にほぼ最適なO~(Q)実行時間で最短経路を達成する。調整可能なパラメータβを用いることで、O~(Q)ラウンドで任意の多項式近似が得られ、O~(Q·n^ε)ラウンドで多項式対数的近似が達成され、平面的または有界ジェネラスのグラフなどの病理的でないトポロジーにおいて、Ω~(√n + D)の壁を著しく上回る。

ABSTRACT

A long series of recent results and breakthroughs have led to faster and better distributed approximation algorithms for single source shortest paths (SSSP) and related problems in the CONGEST model. The runtime of all these algorithms, however, is Omega~(sqrt{n}), regardless of the network topology, even on nice networks with a (poly)logarithmic network diameter D. While this is known to be necessary for some pathological networks, most topologies of interest are arguably not of this type. We give the first distributed approximation algorithms for shortest paths problems that adjust to the topology they are run on, thus achieving significantly faster running times on many topologies of interest. The running time of our algorithms depends on and is close to Q, where Q is the quality of the best shortcut that exists for the given topology. While Q = Theta~(sqrt{n} + D) for pathological worst-case topologies, many topologies of interest have Q = Theta~(D), which results in near instance optimal running times for our algorithm, given the trivial Omega(D) lower bound. The problems we consider are as follows: - an approximate shortest path tree and SSSP distances, - a polylogarithmic size distance label for every node such that from the labels of any two nodes alone one can determine their distance (approximately), and - an (approximately) optimal flow for the transshipment problem. Our algorithms have a tunable tradeoff between running time and approximation ratio. Our fastest algorithms have an arbitrarily good polynomial approximation guarantee and an essentially optimal O~(Q) running time. On the other end of the spectrum, we achieve polylogarithmic approximations in O~(Q * n^epsilon) rounds for any epsilon > 0. It seems likely that eventually, our non-trivial approximation algorithms for the SSSP tree and transshipment problem can be bootstrapped to give fast Q * 2^O(sqrt{log n log log n}) round (1+epsilon)-approximation algorithms using a recent result by Becker et al.

研究の動機と目的

• 病理的でないトポロジーにおける分散SSSPアルゴリズムのΩ~(√n + D)実行時間の壁を打ち破ること。
• SSSP、距離ラベル付け、トランスシップメントの近似アルゴリズムを設計し、ネットワークのショートカット品質Qに適応させること。
• 近似的に最適な実行時間O~(Q)を達成しながら、調整可能な近似比を維持すること。
• ショートカットに基づくアルゴリズムが、平面的または有界ジェネラスのグラフなど、ショートカット品質が低いトポロジーにおいて、従来の手法を上回ることを示すこと。

提案手法

• CONGESTモデルにおける通信の難易度をショートカット品質Qによってモデル化する低混雑度ショートカットフレームワークを用いる。
• 半径パラメータRを用いた階層的クラスタリングにより、近似最短経路森を構築する確率的アルゴリズムExpectedSPForestを導入する。
• 複数ラウンドのサンプリングを繰り返すことで、ノードペアの高確率カバーを保証する再帰的クラスタリングおよびマージプロセスを採用する。
• 距離ラベル付けにショートカットフレームワークを適用し、各ノードにクラスタIDと半径に基づくラベルを割り当て、ラベルのみから近似距離クエリを可能にする。
• 集約部分木計算を用いて根付き木におけるフロー需要を計算し、効率的なトランスシップメントフローアプロキメーションを実現する。
• ExpectedTSの繰り返し実行とマーコフの不等式を用いて、トランスシップメントフローの高確率近似保証を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 病理的でないトポロジーにおいて、分散最短経路近似アルゴリズムはΩ~(√n + D)未満の実行時間で達成可能か？
• RQ2 ショートカット品質Qは、分散最短経路アルゴリズムの実際の性能とどのように関係するか？
• RQ3 多項式対数的ラベルサイズの距離ラベル付けスキームは、ローカル情報のみを用いて近似距離クエリを可能にするか？
• RQ4 ショートカットに基づく手法を用いて、CONGESTモデルで効率的にトランスシップメントフローを近似可能か？
• RQ5 勾配降下や乗法的重み法などの高度な最適化ツールを用いて、近似比を(1+ε)に改善可能か？

主な発見

• 本論文は、ネットワークのショートカット品質Qを用いて、SSSPおよび距離ラベル付けの多項式近似においてO~(Q)の実行時間を達成した。
• 任意のε > 0に対して、多項式対数的近似はO~(Q·n^ε)ラウンドで計算可能であり、Ω~(√n + D)の下界を著しく上回る。
• Beckerらの最近の結果を用いることで、トランスシップメントおよびSSSPの(1+ε)-近似がO~(Q·2^O(√(log n log log n)))ラウンドで達成可能である可能性がある。
• トランスシップメントおよびSSSPにおいて、O~(1/β · n^{O(log log n)/log(1/β)})の近似が達成され、実行時間はO~(1/β · Q)である。
• 平面的または有界ジェネラスのグラフなど、Q = O~(D)であるトポロジーでは、アルゴリズムはO~(D)時間で実行され、ほぼインスタンス最適性を達成する。
• フレームワークは、多項式対数的ラベルサイズと、ラベルのみからの定数時間の近似距離クエリを可能にする効率的な距離ラベル付けをサポートする。