[論文レビュー] Faster integer and polynomial multiplication using cyclotomic coefficient rings

David Harvey, Joris van der Hoeven|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、巡回係数環を用いた新しい整数乗算アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、時間計算量 $ O(n\log n\,(4\sqrt{2})^{\log^{*}n}) $ を達成し、以前の最良の境界 $ O(n\log n\,6^{\log^{*}n}) $ よりも向上している。手法は、モジュラ arithmetic を用いた再帰的分解と、巡回環における最適化された単位根構造に依存しており、同様の枠組みを用いて有限体上の多項式乗算に対しても類似の改善がなされている。

ABSTRACT

We present an algorithm that computes the product of two n-bit integers in O(n log n (4\sqrt 2)^{log^* n}) bit operations. Previously, the best known bound was O(n log n 6^{log^* n}). We also prove that for a fixed prime p, polynomials in F_p[X] of degree n may be multiplied in O(n log n 4^{log^* n}) bit operations; the previous best bound was O(n log n 8^{log^* n}).

研究の動機と目的

• 整数乗算の漸近的時間計算量を、以前の最良の境界 $ O(n\log n\,6^{\log^{*}n}) $ を超えて向上させること。
• 近似複素数演算に依存しない、モジュラー算術に基づくアルゴリズムを開発すること。これは、Füller らの手法とは異なり、従来の方法とは異なる。
• 固定された $ p $ に対して、有限体 $ \mathbb{F}_p[X] $ 上の多項式乗算に対し、改善された計算量境界を拡張すること。$ O(n\log n\,4^{\log^{*}n}) $ を達成する。
• 巡回係数環と洗練された再帰的分解技術を用いて、再帰レベル間でのデータ拡大を最小限に抑える新しい理論的基盤を確立すること。
• 整数乗算において、$ K_{\mathbb{Z}} = 4\sqrt{2} \approx 5.657 $ が条件なしに達成可能であることを示すこと。これは、未解決の予想 $ K_{\mathbb{Z}} = 4 $ に近づける。

提案手法

• アルゴリズムは、巡回環上のモジュラー算術に基づく再帰的分解戦略を用い、近似複素数演算の必要を回避する。
• データ拡大を再帰レベル全体にわたって制御するため、$ p $-許容長さと適切に選ばれた重みを活用する洗練された再帰的構造を導入する。
• 3段階の再帰的呼び出しを適用する：まず、許容可能な乗算コストを推定するためのもの。次に、多項式乗算コストを精緻化するためのもの。最後に、再び整数乗算に還元するためのもの。
• 異なるスケール間で凸結合境界を可能にするように、合計が1に等しい係数 $ \gamma_{p,i} $ と $ \gamma_{p,i,j} $ を用いた新しい重み付け方式を導入する。
• 再帰的不等式 $ \operatorname{\mathsf{C}^{\star}_{\mathrm{int}}}(n) $ に依存する解析であり、定数倍の因子を含む、より小さい整数乗算コスト $ \operatorname{\mathsf{C}^{\star}_{\mathrm{int}}}(n_{p,i,j}) $ の重み付き和によって上界が与えられる。
• 重要な技術的要素として、すべての再帰的部分問題が必要なサイズ制限内に収まるように保証するため、$ \Psi(x) = 2^{(\log\log x)^8} $ とゆっくりと増加する関数を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー算術を用いて、整数乗算の定数 $ K_{\mathbb{Z}} $ を 6 よりも下回る条件なしの境界にまで低下させることは可能か？
• RQ2 近似複素数演算に依存せずに、整数乗算において $ K_{\mathbb{Z}} = 4\sqrt{2} \approx 5.657 $ を達成することは可能か？
• RQ3 同じ再帰的枠組みを用いて、固定された $ p $ に対して $ \mathbb{F}_p[X] $ 上の多項式乗算に対して改善された境界を達成することは可能か？
• RQ4 巡回係数環を用いて、再帰的乗算アルゴリズムにおけるデータ拡大を最小限に抑えるにはどうすればよいか？
• RQ5 決定的かつモジュラー算術操作のみを仮定した場合、整数乗算における $ K_{\mathbb{Z}} $ の最小達成値は何か？

主な発見

• 本稿では、整数乗算の計算量が $ O(n\log n\,(4\sqrt{2})^{\log^{*}n}) $ に達成され、以前の最良の境界 $ O(n\log n\,6^{\log^{*}n}) $ よりも向上した。
• 新しいアルゴリズムは完全にモジュラー算術に基づいており、高速な単位根や近似複素数演算の使用を必要としない。
• 固定された $ p $ に対して有限体 $ \mathbb{F}_p[X] $ 上の多項式乗算では、$ O(n\log n\,4^{\log^{*}n}) $ のビット演算を達成し、以前の境界 $ O(n\log n\,8^{\log^{*}n}) $ よりも向上した。
• この改善は、巡回係数環を用いた再帰的分解と、複数のスケールにわたる重み付き平均によるデータ拡大の精密な制御によって達成された。
• 解析により、すべての再帰的部分問題がサイズ制限 $ \Psi(\Psi(n)) $ の範囲内に保たれることを確認した。ここで $ \Psi(x) = 2^{(\log\log x)^8} $ であり、再帰構造が健全であることが保証される。
• この結果により、$ K_{\mathbb{Z}} = 4\sqrt{2} \approx 5.657 $ が条件なしに達成可能であることが示され、$ K_{\mathbb{Z}} = 4 $ への未解決の予想に近づいた。