[論文レビュー] Faster p-adic Feasibility for Certain Multivariate Sparse Polynomials

Martín Avendaño, Ashraf Ibrahim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

advanced mathematical theories被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、スパースな多変数多項式のp進有理数解の検出に向けたより高速なアルゴリズムを提示し、特定の条件下で、真の(n+1)-項式や3項式といった特定の族がNP時間、あるいは定数時間で解けることを示している。一般の場合にはNP困難性を確立し、スパースな多項式系におけるp進可能性の複雑さに鋭い境界を明らかにしている。

ABSTRACT

We present algorithms revealing new families of polynomials allowing sub-exponential detection of p-adic rational roots, relative to the sparse encoding. For instance, we show that the case of honest n-variate (n+1)-nomials is doable in NP and, for p exceeding the Newton polytope volume and not dividing any coefficient, in constant time. Furthermore, using the theory of linear forms in p-adic logarithms, we prove that the case of trinomials in one variable can be done in NP. The best previous complexity bounds for these problems were EXPTIME or worse. Finally, we prove that detecting p-adic rational roots for sparse polynomials in one variable is NP-hard with respect to randomized reductions. The last proof makes use of an efficient construction of primes in certain arithmetic progressions. The smallest n where detecting p-adic rational roots for n-variate sparse polynomials is NP-hard appears to have been unknown.

研究の動機と目的

• スパースな多変数多項式のp進有理数解の検出のための指数時間未満のアルゴリズムの開発。
• Qp上でのスパース多項式系におけるp進可能性の計算複雑度の特定。
• 特にNP完全性およびNP困難性といった新しい複雑度境界の確立——スパース符号化に基づいて。
• p進対数と等差数列が複雑度下界を構築する上での役割の調査。
• スパース多項式におけるp進解の検出において、 tractable と intractable なケースの境界の明確化。

提案手法

• 線形形式のp進対数に関する理論を用いて、単変数3項式のNP-membershipを証明。
• ヘルメート標準形を適用して、非真の多変数多項式を一般性を失わず真の形に還元。
• AKS素数判定法と確率的還元を用いて複雑度境界を分析。
• シュワーツ・ジッペルの補題と素数の密度推定を用いて、判別式が消える多項式の割合を評価。
• 3CNFSATをFEASQp(Z[x] × P)に確率的多項式時間還元することでNP困難性を確立。
• Wagstaff予想を活用して、NP困難性結果を決定的複雑度に強化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース符号化に基づいて、スパースな多変数多項式のp進有理数解は指数時間未満で検出可能か？
• RQ2 Qp上での単変数3項式のp進解の検出の正確な複雑度クラスは何か？
• RQ3 一般にスパース多項式のp進可能性問題はNPに属するか、それ以上に難しいか？
• RQ4 ニュートン多面体と素数pにどのような条件を課すと、p進解の検出が定数時間で可能になるか？
• RQ5 等差数列と素数の分布は、p進可能性の複雑度にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の固定素数pに対してFEASQp(F1,3) ∈ NPであり、これにより従来のEXPTIMEの境界が改善された。
• 真のn変数(n+1)-項式の場合、pがニュートン多面体の体積を上回り、かつすべての係数を割り切らない限り、p進可能性は定数時間で決定可能である。
• 単変数3項式のケースは、p進対数の線形形式を用いた証明によりNPに属する。
• 一般のスパース単変数多項式のp進有理数解の検出は、確率的還元のもとでNP困難である。
• Wagstaff予想が成り立つならば、FEASQp(Z[x] × P) ∈ P ならば P = NP が成り立ち、これによりNP困難性の結果が強化される。
• 自然密度が0である代数的超曲面 E ⊂ Z[x1] × P の可算個の合併が存在し、FEASQp((Z[x1] × P) ackslash E) ∈ NP である。