[論文レビュー] Faster Pairing Computation

Christophe Arène, Tanja Lange+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2009

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ペアリング計算のミラー法におけるエドワーズ曲線およびワイエルシュトラス曲線の倍加および加法の最適化された明示的公式を導入する。エドワーズ曲線の算術を幾何学的に再解釈し、新たな係数計算手法を導出することで、提案された公式は、従来のエドワーズ曲線手法よりも高速なペアリング評価を実現し、ワイエルシュトラス曲線の公式と同等の性能を達成する。特に、埋め込み次元 k = 6 のペアリングフレンドリーなねじれエドワーズ曲線に対しても有効である。

ABSTRACT

Abstract. This paper proposes new explicit formulas for the doubling and addition step in Miller’s algorithm to compute pairings. For Edwards curves the formulas come from a new way of seeing the arithmetic. We state the first geometric interpretation of the group law on Edwards curves by presenting the functions which arise in the addition and doubling. Computing the coefficients of the functions and the sum or double of the points is faster than with all previously proposed formulas for pairings on Edwards curves. They are even competitive with all published formulas for pairing computation on Weierstrass curves. We also speed up pairing computation on Weierstrass curves in Jacobian coordinates. Finally, we present examples of pairing-friendly twisted Edwards curves with embedding degree k = 6.

研究の動機と目的

• ミラー法における倍加および加法ステップの新しい明示的公式を導出することにより、楕円曲線におけるペアリング計算を高速化すること。
• ペアリング計算に用いられる関数を通じて、エドワーズ曲線の群法則の幾何的解釈を提供すること。
• エドワーズ曲線におけるパフォーマンスを向上させ、既存のワイエルシュトラス曲線のペアリング公式と同等またはそれを上回ること。
• ジェーコビアン座標を用いてワイエルシュトラス曲線におけるペアリング計算を最適化すること。
• 埋め込み次元 k = 6 のペアリングフレンドリーなねじれエドワーズ曲線の例を構築すること。

提案手法

• エドワーズ曲線の群法則に新しい代数的および幾何的視点を適用し、点の倍加および加法のための新しい算術公式を導出する。
• ミラー法で生じる関数を明示的に表現することで、効率的な係数計算および点演算を可能にする。
• 公式の単純化による体演算の最小化により、ペアリング関数の評価を最適化する。
• 同様の最適化技術をジェーコビアン座標におけるワイエルシュトラス曲線に適用し、パフォーマンスを向上させる。
• 埋め込み次元 k = 6 のペアリングフレンドリーなねじれエドワーズ曲線を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エドワーズ曲線の算術をどのように再解釈すれば、より高速なペアリング計算の公式が得られるか？
• RQ2 エドワーズ曲線の群法則の背後にある幾何的洞察は何であり、それをペアリングアルゴリズムでどのように活用できるか？
• RQ3 公式の最適化によって、エドワーズ曲線におけるペアリング計算をワイエルシュトラス曲線と同等の性能にまで引き上げられるか？
• RQ4 提案された公式は、エドワーズ曲線およびワイエルシュトラス曲線の両方において、従来の手法と比較してどの程度のパフォーマンス向上を達成するか？
• RQ5 埋め込み次元 k = 6 のペアリングフレンドリーなねじれエドワーズ曲線の性質および構築基準は何か？

主な発見

• 提案されたエドワーズ曲線の点演算用公式は、エドワーズ曲線におけるペアリング計算のための、これまでに発表されたあらゆる公式よりも高速である。
• 新規のエドワーズ曲線公式は、ワイエルシュトラス曲線におけるペアリング計算で知られている最速の公式と同等の性能を達成する。
• ミラー法に用いられる明示的関数を通じて、エドワーズ曲線の群法則の幾何的解釈が導出された。
• ジェーコビアン座標におけるワイエルシュトラス曲線のペアリング計算パフォーマンスが、最適化された公式によって向上した。
• 本論文では、埋め込み次元 k = 6 のペアリングフレンドリーなねじれエドワーズ曲線の明示的例を提示し、効率的なペアリングベースの暗号スキームの実現を可能にした。