[論文レビュー] Faster way to agony: Discovering hierarchies in directed graphs

Nikolaj Tatti|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Complex Network Analysis Techniques参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ネットワーク構造における階層的違反の尺度である「怒り（agony）」を計算するための新しい $O(m^2)$ アルゴリズムを提示する。最大オイラー部分グラフに基づくプライマル・デュアルアプローチを用い、現在の怒りとデュアルオイラー部分グラフの差を反復的に縮小することで、従来の $O(nm^2)$ の境界を上回る高速な性能を達成し、大規模な実世界ネットワークにおいても強力な実用的スケーラビリティを示している。

ABSTRACT

Many real-world phenomena exhibit strong hierarchical structure. Consequently, in many real-world directed social networks vertices do not play equal role. Instead, vertices form a hierarchy such that the edges appear mainly from upper levels to lower levels. Discovering hierarchies from such graphs is a challenging problem that has gained attention. Formally, given a directed graph, we want to partition vertices into levels such that ideally there are only edges from upper levels to lower levels. From computational point of view, the ideal case is when the underlying directed graph is acyclic. In such case, we can partition the vertices into a hierarchy such that there are only edges from upper levels to lower edges. In practice, graphs are rarely acyclic, hence we need to penalize the edges that violate the hierarchy. One practical approach is agony, where each violating edge is penalized based on the severity of the violation. The fastest algorithm for computing agony requires $O(nm^2)$ time. In the paper we present an algorithm for computing agony that has better theoretical bound, namely $O(m^2)$. We also show that in practice the obtained bound is pessimistic and that we can use our algorithm to compute agony for large datasets. Moreover, our algorithm can be used as any-time algorithm.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおける階層的構造違反の尺度である怒りを計算するためのより高速なアルゴリズムの開発。
• 怒り計算の既存の $O(nm^2)$ 時間計算量を改善すること。
• 大規模な実世界データセットにおける新アルゴリズムの実用的スケーラビリティの実証。
• 近似階層発見のための「いつでも使用可能（any-time）」手法としてのアルゴリズムの利用を可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムは、プライマル問題が怒りを最小化し、デュアル問題がオイラー部分グラフのサイズを最大化するプライマル・デュアルフレームワークを採用する。
• 各反復で、duality gap を小さくするために、ランク関数（プライマル）またはオイラー部分グラフ（デュアル）を更新する。
• 各反復は $O(m)$ 時間で実行され、最大で $m$ 回の反復が必要となるため、全体の時間計算量は $O(m^2)$ となる。
• 怒りと最大オイラー部分グラフの間に存在する双対性を活用し、オイラー部分グラフのサイズが怒りの下界を提供する。
• アルゴリズムは現在のランク関数と現在のオイラー部分グラフを維持し、デュアル制約のスラックに基づいてそれらを更新する。
• 本手法は、反復の各段階で近似品質が保証される「いつでも使用可能」な手法として設計されており、現在のオイラー部分グラフのサイズが最適な怒りの下界を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 怒り計算の計算量を $O(nm^2)$ 未満に低下させることは可能か？
• RQ2 オイラー部分グラフに基づくプライマル・デュアルアプローチが、有向グラフにおける怒りの最小化に効果的に適用可能か？
• RQ3 理論的な $O(m^2)$ の境界は、大規模ネットワークにおける実際の性能を反映しているか？
• RQ4 アルゴリズムは、各ステップで近似品質が保証される「いつでも使用可能」な手法として利用可能か？

主な発見

• 提案手法は $O(m^2)$ 時間計算量を達成し、従来の $O(nm^2}$ の境界を著しく改善した。
• 実際の実行では理論的境界が楽観的であり、500万エッジを超えるグラフ（例：WebGoogle）に対しても3時間未塔で怒りを計算可能だった。
• Gnutella や WikiVote などの小規模なグラフでは、数秒から数分で処理が完了し、ベースライン手法を桁違いに上回った。
• 最大のデータセット（WebGoogle）では、最初の8%の反復で近似比2が達成されており、初期段階での収束が著しく速いことが示された。
• 任意の反復段階で現在のオイラー部分グラフのサイズが最適な怒りの有効な下界を提供するため、保証された境界付きの「いつでも使用可能」な近似が可能である。