[論文レビュー] Fat Triangulations and Differential Geometry

Emil Saucan|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、すべての単体が最小の角厚さを保つ「太った三角形分割（fat triangulations）」が、リーマン多様体の折り畳み平坦近似におけるリプシッツ・キリング曲率の収束を可能にすることを確立している。ソーサンの太った三角形分割の存在結果と、チーバー＝ミュラー＝シュラーダの曲率収束定理を組み合わせることで、多様体上の曲率測度が太ったPL構造を介して計量的に近似可能であることが証明され、準等角写像やレッジ計算への応用が得られる。

ABSTRACT

We study the differential geometric consequences of our previous result on the existence of fat triangulations, in conjunction with a result of Cheeger, Müller and Schrader, regarding the convergence of Lipschitz-Killing curvatures of piecewise-flat approximations of smooth Riemannian manifolds. A further application to the existence of quasiconformal mappings between manifolds, as well as an extension of the triangulation result to the case of almost Riemannian manifolds, are also given. In addition, the notion of fatness of triangulations and its relation to metric curvature and to excess is explored. Moreover, applications of the main results, and in particular a purely metric approach to Regge calculus, are also investigated.

研究の動機と目的

• 太った三角形分割が折り畳み平坦多様体における曲率近似に与える微分幾何的帰結を確立すること。
• 三角形分割における計量的曲率、過剰度、および太さの間の関係を明らかにすること。
• 太った三角形分割の存在をほぼリーマン多様体へと拡張すること。
• 太った三角形分割を用いた純粋な計量的アプローチによるレッジ計算の確立。
• 曲率収束を介して、多様体間の準等角写像の存在を調査すること。

提案手法

• サウカン（2005）の定理1.1を用いて、位相的および滑らかさの条件を満たす多様体上にグローバルな太った三角形分割の存在を証明する。
• チーバー、ミュラー、シュラーダ（1984）の、太った折り畳み平坦近似におけるリプシッツ・キリング曲率の収束結果を適用する。
• 単体のすべての面において、j次体積と直径^jの下限比を用いて太さを定義し、幾何的制御を確保する。
• 無限小の球が楕円体に歪むことによる歪みの上限を用いた計量的準等角性の定義を適用し、曲率スケーリングと歪率の関係を導く。
• 構造方程式（dω_k = -∑ω_kl ∧ ω_l, dω_kl = -∑ω_ki ∧ ω_il + Ω_kl）を用いて曲率形式とリプシッツ・キリング曲率を定義する。
• 線形歪率 H(f,x) = a₁/aₙ を用いて、準等角写像下での曲率スケーリングを導出し、測度的に R² ∝ C(K,n,j)R¹ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなリーマン多様体上のリプシッツ・キリング曲率は、太った折り畳み平坦三角形分割上でのそれらによって近似可能か？
• RQ2 三角形分割の太さと、その計量的曲率測度を保存する能力との関係は何か？
• RQ3 多様体間の準等角写像は、曲率測度の制御されたスケーリングを誘導するか？
• RQ4 太った三角形分割を用いて、純粋な計量的レッジ計算の定式化を確立できるか？
• RQ5 どのような条件下で、多様体は非定数の準メルモーフィック写像をもつのか？

主な発見

• 連結で向き付け可能なn次元多様体（n ≤ 4）で、境界成分が固定された太さφ₀の太った三角形分割を持つ場合、その多様体上にも太った三角形分割が存在する。
• 滑らかなリーマン多様体Mⁿ上のリプシッツ・キリング曲率Rⱼは、ハウスドルフ距離で収束する太った折り畳み平坦近似Mⁿᵢの系列におけるそれらの極限に一致する。
• PL多様体間のK-準等角写像下では、曲率測度がR²ⱼ = C(K,n,j)R¹ⱼとスケーリングされ、CはK、次元n、曲率の順序jに依存する。
• 滑らかな多様体では、測度の意味でR²ⱼ = (1+ε₀)C(K,n,j)R¹ⱼが任意に小さいε₀ > 0に対して成り立つ。
• 定理1.1の位相的条件を満たす任意の連結なほぼリーマン多様体は、n次元球面への非定数の準メルモーフィック写像をもつ。
• 線形歪率 H(f,x) = a₁/aₙ による計量的準等角性の定義により、無限小の球がほぼ楕円体に写されることが保証され、これにより曲率スケーリングの解析が可能になる。