[論文レビュー] Fatou and brother Riesz theorems in the infinite-dimensional polydisc

Alexandru Aleman, Jan‐Fredrik Olsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限次元多変数円板上でのHardy空間に対するFatou定理および兄弟Riesz定理の無限次元版を確立し、非負および非正の多重指数に台を持つFourierスペクトルをもつ関数について、径方向境界極限が存在することを証明する。本稿は兄弟Riesz定理の新たな証明を提供し、RudinのH^1関数のモジュラスに関する結果を拡張する一方で、スペクトル制約なしでは点付き径方向極限が成立しないことを示す反例も構成する。

ABSTRACT

We study the boundary behavior of functions in the Hardy spaces on the infinite dimensional polydisk. These spaces are intimately related to the Hardy spaces of Dirichlet series. We exhibit several Fatou and Marcinkiewicz-Zygmund type theorems for radial convergence. As a consequence one obtains easy new proofs of the brothers F. and M. Riesz theorems in infinite dimension. Finally, we provide counterexamples showing that the pointwise Fatou theorem is not true in infinite dimensions without restrictions to the mode of radial convergence even for bounded analytic functions.

研究の動機と目的

• 古典的なFatou定理およびMarcinkiewicz-Zygmund定理を無限次元多変数円板の設定に拡張すること。
• 径方向収束の結果を用いて、無限次元兄弟F.およびM. Riesz定理の新たな、簡略化された証明を提供すること。
• H^1関数が他のH^1関数のモジュラスにほとんど everywhere に等しいというRudinの結果を\bbT^\fに一般化すること。
• 無限次元において点付き径方向境界極限が失敗することを調査し、反例を構成すること。
• 有限次元の正則性が欠如しても、径方向境界挙動が保たれる条件を特定すること。

提案手法

• 関数のFourierスペクトルが\bbN^\f_0 \cup (-\bbN^\f_0} に含まれる場合に限って、$ H^p(\bbT^\f) $関数の境界挙動を、$ r \nearrow 1 $ となる列$ (r^n e^{i\theta_n}) $ 沿いの径方向アプローチによって分析する。
• 弱-*収束および各トーラス因子$ \bbT $におけるPoisson核および共役Poisson核の最大関数推定を適用し、$ Mu_n \geq C \min(1, \delta_n |t|^{-1}) $ を用いて級数の発散を導出する。
• Herglotz表現および$ \ell^2 $-ベースの推定を用いて、$ c_0 \cap \bbD^\f $ 上での$ f $ の一様有界性および非消滅性を示し、多変数円板内での正則性を保証する。
• $ u_n $ および$ \tilde{u}_n $ の独立性および一様有界性に加え、[7, Lemma 3.14] を用いて、$ \sum Mu_n $ および$ \sum |\tilde{u}_n| $ のほとんど everywhere での発散を導出し、発散する径方向経路を示す。
• 特定のインデックスブロックに依存する摂動半径$ r_{n,k} $ を用いて、有界な正則関数$ f \in H^\infty(\bbT^\f) $ を構成し、特定の径方向アプローチに沿ってほとんど everywhere で径方向極限が失敗することを示す。
• Hilbertの議論を適用して、$ f $ が$ c_0 \cap \bbD^\f $ 上で有界な点評価を持つことを示し、多変数円板内での$ f $ の適切な定義および非消滅性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定理1におけるスペクトル制約（Fourier台が$ \bbN^\f_0 \cup (-\bbN^\f_0) $ に含まれる）を除去することは可能か？
• RQ2 単調な半径$ r_{n,k} \geq r_{n+1,k} $ でさえも、径方向収束が失敗する有界な正則関数$ f $ が$ \bbT^\f $ 上に存在するか？
• RQ3 点付き独立な径方向アプローチでは、径方向収束の失敗は避けがたいか？
• RQ4 $ H^p(\bbT^\f) $ 関数の非接線的境界極限の挙動はいかなるものか？
• RQ5 どの径方向アプローチに対して、兄弟Riesz定理（境界値が a.e. で消えること implies $ f \equiv 0 $）が成立するか？

主な発見

• 定理1は、$ f \in H^p(\bbT^\f) $ でFourierスペクトルが$ \bbN^\f_0 \cup (-\bbN^\f_0) $ に含まれる場合に、径方向境界極限が存在することを確立し、古典的なFatou型結果を無限次元に拡張する。
• 補題1および補題2は、径方向収束の技法を用いて、無限次元兄弟F.およびM. Riesz定理の新たな、簡略化された証明を提供する。
• 補題3は、$ f \in H^1(\bbT^\f) $ を、その$ m $-次部分積の$ L^1 $-一様有界性による特徴づけを提供し、可積分性の新たな基準を提示する。
• 定理2はMarcinkiewicz-Zygmund定理を無限次元に一般化し、このようなFourier台を持つ特異測度がほとんど everywhere で径方向極限を消滅することを示す。
• 定理4は、特定の径方向アプローチにおいてほとんど everywhere で径方向極限が失敗する有界な正則関数$ f \in H^\infty(\bbT^\f) $ を構成する。これはスペクトル制約の必要性を示す。
• 反例は、$ \sum Mu_n = \infty $ a.e. となる発散級数に依拠し、$ \delta_n \sim 1/(n+2)\log(n+2) $ を用いて、$ \arg f $ の有界でない径方向成長を導く。