[論文レビュー] Fatou-Bieberbach Domains

Erlend Fornæss Wold|ArXiv.org|Oct 7, 2004

Rings, Modules, and Algebras被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^k$ 内に非常に非自明な幾何的・力学的性質を有する Fatou-Bieberbach 領域を構成する。無限個の互いに素なこのような領域の存在を証明し、それらの和集合が $ℝ^k$ で稠密であり、和集合の外側のすべての点が、各領域の境界点であることを示す。さらに、任意の Runge の Fatou-Bieberbach 領域は、$ℝ^k$ の自己同型の列の吸引域として得られることを示し、$ℝ^k$ にbiholomorphic な Runge 領域の増大列は、自身 $ℝ^k$ にbiholomorphic であることを示す。これらの結果は、部分多様体やアフィン部分空間との交わりに関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We show that for any $m\in\NN\cup\{\infty\}$ there exist $m$ disjoint FB domains whose union is dense in $\CC^k$. In fact we show that any point not in the union is a boundary point for all the domains. We construct FB domains that contains arbitrary countable collections of subvarieties of $\CC^k$, and we construct FB domains that intersect elements of countable collections of affine subspaces of $\CC^k$ in connected proper subsets. Moreover, we show that any Runge FB domain is the attracting basin for a sequence of automorphisms of $\CC^k$, although not necessarily if you only allow iteration of one automorphism. We also show that an increasing sequence of Runge $\CC^k$'s is a $\CC^k$.

研究の動機と目的

• 複数の互いに素な Fatou-Bieberbach 領域が存在し、それらの和集合が $ℝ^k$ で稠密であるかどうかという未解決問題を解決すること。
• 和集合の外側の任意の点が、すべての領域の境界点であることを示し、Rosay と Rudin が提起した問いに応えること。
• 任意の可算個の部分多様体または可算個のアフィン部分空間と交わる、連結で真部分集合であるような Fatou-Bieberbach 領域を構成すること。
• Runge の Fatou-Bieberbach 領域の動的特徴づけが、自己同型の列の吸引域として得られることを明確にすること。
• $ℝ^k$ にbiholomorphic な Runge 領域の増大列は、自身 $ℝ^k$ にbiholomorphic であることを証明すること。

提案手法

• $\mathbb{C}^k$ の自己同型の列を用いて、導関数のノルムを制御する方法で Fatou-Bieberbach 領域を構成する。[10] の定理 9.1 を一般化する。
• Andersen, Lempert, Forstneric, Rosay の近似定理を用いて、$ℝ^k$ のbiholomorphism を $ℝ^k$ の自己同型で近似する。
• 多項式凸性の技法を用いて、領域およびその補集合の挙動を制御する。
• 自己同型 $F_j$ の再帰的構成により、合成 $F(j) = F_j \circ \cdots \circ F_1$ が固定点に収束するようにし、$ℝ^k$ へのbiholomorphism への収束を保証する。
• コンパクト集合上で一様収束を用いて、極限写像が Basin から $ℝ^k$ へのbiholomorphism であることを保証する。これには、導関数の2次項の有界性を活用する。
• 領域 $Ω_j$ 上で定義されたbiholomorphism $φ_j$ を、コンパクト集合上で一様収束するように構成し、極限写像 $Φ: Ω \to \mathbb{C}^k$ が全域のbiholomorphism であることを、複素解析の近似および収束定理を用いて得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℝ^k$ 内に無限個の互いに素な Fatou-Bieberbach 領域が存在し、それらの和集合が稠密である可能性はあるか？
• RQ2 和集合の外側のすべての点が、同時にすべての領域の境界点であることは可能か？
• RQ3 可算個のアフィン部分空間の族と交わる、連結で真部分集合であるような Fatou-Bieberbach 領域は構成可能か？
• RQ4 任意の可算個の閉部分多様体の和集合を含む Fatou-Bieberbach 領域は、その和集合が $ℝ^k$ で稠密であっても構成可能か？
• RQ5 任意の Runge の Fatou-Bieberbach 領域は、単一の自己同型の吸引域ではなく、自己同型の列の吸引域として得られるのか？

主な発見

• 任意の $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ に対して、$ℝ^k$ 内に $m$ 個の互いに素な Fatou-Bieberbach 領域が存在し、それらの和集合が稠密であり、和集合の外側のすべての点が各領域の境界点である。
• 任意の Runge の Fatou-Bieberbach 領域は、$ℝ^k$ の自己同型の列の吸引域として得られるが、単一の自己同型の吸引域であるとは限らない。
• 可算個のアフィン部分空間の族と交わる、連結で真部分集合であるような Fatou-Bieberbach 領域が存在し、各部分空間の補集合を避ける。
• 任意の可算個の $ℝ^k$ の閉部分多様体の和集合を含む Fatou-Bieberbach 領域が存在する。その和集合が $ℝ^k$ で稠密であっても同様である。
• $ℝ^k$ にbiholomorphic な Runge 領域の増大列は、自身 $ℝ^k$ にbiholomorphic である。これは [7, p.4] の問いに対する部分的な答えを提供する。