[論文レビュー] Fatou directions along the Julia set for endomorphisms of CP^k

Romain Dujardin|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 ℂℙ^k 上の正則自己準同型写像について、集合 $J_q \setminus J_{q+1}$（ここで $J_q = \mathrm{Supp}(T^q)$）に属する一般点が、微分のノルムが部分指数的に増大する方向（Fatou方向）を少なくとも $(k-q)$ 個もつことを確立する。さらに、横断的（transverse）な方向では、少なくとも $rac{1}{2}\log d$ の割合で指数的拡張が起こることを示しており、Julia集合のフィルトレーションに沿った階層的力学的構造に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Not much is known about the dynamics outside the support of the maximal entropy measure $μ$ for holomorphic endomorphisms of $\mathbb{CP}^k$. In this article we study the structure of the dynamics on the Julia set, which is typically larger than $Supp(μ)$. The Julia set is the support of the so-called Green current $T$, so it admits a natural filtration by the supports of the exterior powers of $T$. For $1\leq q \leq k$, let $J_q= Supp(T^q)$. We show that for a generic point of $J_q\setminus J_{q+1}$ there are at least $(k-q)$ "Fatou directions" in the tangent space. We also give estimates for the rate of expansion in directions transverse to the Fatou directions.

研究の動機と目的

• 複素射影空間 $\mathbb{CP}^k$ 上の正則自己準同型写像のジュリーセット $J = J_1 \supset J_2 \supset \cdots \supset J_k = \mathrm{Supp}(\mu)$ の力学的構造を理解すること。
• ジュリーセットのフィルトレーションに沿って、異なる接空間方向における Fatou 型と Julia 型の力学的挙動の違いを明確にすること。
• 一般点 $J_q \setminus J_{q+1}$ における Fatou 方向の数と性質を定量的に記述し、1次元の直観を高次元へ一般化すること。
• $J_q \setminus J_{q+1}$ 上の力学は、余次元 $q$ の方向では部分的に安定（Fatou）であり、横断的（transverse）方向では拡張的（Julia）であるという予想を支持すること。

提案手法

• Green カレント $T$ 及びそのべき $T^q$ を用い、その台 $\mathrm{Supp}(T^q)$ が定める $J_q = \mathrm{Supp}(T^q)$ を用いてジュリーセットを階層化する。
• 一般点 $x \in J_q \setminus J_{q+1}$ における接ベクトル $v$ 沿いの微分 $df^n_x(v)$ の成長を分析し、$\frac{1}{n}\log\|df^n_x(v)\|$ の $\limsup$ の見積もりによって、Fatou 型方向と Julia 型方向を区別する。
• Chern-Levine-Nirenberg の不等式および現在論的道具（例えば Bézout の定理）を用いて、反復写像による前像の質量および直径の見積もりを制御する。
• 局所座標におけるグラフ上の積分カレントおよびラミナリティカレントの概念を用い、前像のサイズを推定し、微分のノルムを制御する。
• Grassmannian $G(q,k)$ 上の確率論的議論を用いて、$m$-ほとんど everywhere における $T_x\mathbb{P}^k$ の $q$ 次元部分空間 $L$ に対して、$f^n$ による $[L]$ の押し出し像が特定の多様体 $V$ 上に台を持つカレントに弱収束することを示し、望ましい漸近的挙動を裏付ける。
• Green カレント $T$ の連続性および $T^q$ のwell-defined性に依拠し、トレース測度 $\sigma_{T^q}$ がうまく定義され、一般点の解析が可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間 $\mathbb{CP}^k$ 上の正則自己準同型写像について、$J_q \setminus J_{q+1}$ の一般点における Fatou 方向はいくつ存在するか？
• RQ2 このような一般点における Fatou 部分空間に直交する方向での拡張率を定量的に評価できるか？
• RQ3 $J_q \setminus J_{q+1}$ 上の力学は、一部の方向では安定（Fatou）、他の方向では拡張的（Julia）という混合構造を示すか？ これは $T^q$ の予想されるラミナリティ構造と整合的か？
• RQ4 Fatou 方向が $k-q$ 個存在することは、ジュリーセットのフィルトレーションにおいて一般的特徴であるか？ また、Axiom A やその他の強い仮定を仮定せずにこれを証明できるか？
• RQ5 トレース測度 $\sigma_{T^q}$ は、$J_q \setminus J_{q+1}$ 上での Fatou ディスクやラミナリティカレントの存在という力学的構造をどの程度捉えているか？

主な発見

• 任意の $\sigma_{T^q}$-ほとんど everywhere な点 $x \in J_q \setminus J_{q+1}$ に対して、$T_x\mathbb{P}^k$ 内に余次元 $k-q$ の複素部分空間 $\mathcal{F}_x$ が存在し、任意の $v \in \mathcal{F}_x$ に対して $\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log\|df^n_x(v)\| \leq 0$ が成り立つ。これが Fatou 方向を定義する。
• すべての $v \notin \mathcal{F}_x$ に対して、$\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log\|df^n_x(v)\| \geq \frac{1}{2}\log d$ が成り立つ。これは横断的（transverse）方向での指数的拡張を示唆する。
• 立方体 $Q \subset \mathbb{C}^q$ 上のグラフ $\Gamma$ の前像 $f^{-n}(\Gamma)$ の直径は、$C(\varepsilon) d^{-n/2}$ で有界であり、反復における歪みが制御されていることを示す。
• $\|df_{-n}|_{\Gamma \cap \lambda C}\| \leq C(\varepsilon) d^{-n/2}$ が成り立つ。これは Fatou 方向における部分指数的成長を確認する。
• 一般の $q$ 次元平面の $f^n$ による押し出し像は弱収束し、特定の多様体 $V$ 上に台を持つカレントに収束する。これは漸近的力学が $V$ に集中しており、予想されるラミナリティ構造を支持する。
• $\sigma_{T^q}$ は、Fatou 部分空間が余次元 $k-q$ をもつ集合に全測度を割り当てており、ジュリーセット全体にわたる力学的挙動の階層的構造が期待通りに実現されていることを確認する。