[論文レビュー] Feasible Depth

David Doty, Philippe Moser|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、有限状態および多項式時間の深さという形で、Bennettの論理的深さを計算複雑性理論の枠組みで形式化し、自明でかつランダムな系列が浅いこと、深さのある系列は浅い系列から容易に生成できない（遅延成長則）こと、Eのハーティング問題の類似物が多項式時間で深いこと、そして一様な指数時間還元を用いて広範な深さを持つ言語のクラスを確立する。

ABSTRACT

This paper introduces two complexity-theoretic formulations of Bennett's logical depth: finite-state depth and polynomial-time depth. It is shown that for both formulations, trivial and random infinite sequences are shallow, and a slow growth law holds, implying that deep sequences cannot be created easily from shallow sequences. Furthermore, the E analogue of the halting language is shown to be polynomial-time deep, by proving a more general result: every language to which a nonnegligible subset of E can be reduced in uniform exponential time is polynomial-time deep.

研究の動機と目的

• 有限状態および多項式時間の枠組みを用いて、計算複雑性理論におけるBennettの論理的深さの概念を形式化すること。
• 自明でかつランダムな無限系列が、両方の定式化において浅いかどうかを確認し、深さの直感的感覚と整合性を保つこと。
• 深さに関する遅延成長則を証明し、浅い系列から効率的に深さのある系列を構成できないことを示すこと。
• 一様な指数時間還元を用いて、Eの非無視可能な部分集合から還元可能な任意の言語が多項式時間で深いこと、すなわち広範な深さを持つ言語のクラスを同定すること。
• 論理的深さの複雑性理論的基盤を提供し、計算可能性および複雑性の中心的概念と結びつけること。

提案手法

• 有限状態の深さを、計算的内容を有する系列を生成するために必要な最小時間として定義する。
• 多項式時間の深さを、その長さに対して相対する、決定的チューリングマシンが系列を生成するために必要な最小時間として定義する。
• 遅延成長則を適用し、浅い系列からの効率的変換によって系列の深さが著しく増加しないことを示す。
• 一様な指数時間還元を用いて、Eの非無視可能な部分集合を目的言語に写像し、多項式時間定式化における深さの確立を図る。
• Eのハーティング言語の類似物が多項式時間で深いことを、Eの非無視可能な部分集合からの還元の存在を活用して証明する。
• 一様還元において言語の深さが保存されることを確立し、深さとして分類可能な複雑性クラス全体を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bennettの論理的深さは、有限状態および多項式時間の複雑性クラスにおいて意味的に形式化可能か？
• RQ2 自明でかつランダムな無限系列は、提案された複雑性理論的深さの定式化においても浅いままであるか？
• RQ3 有限状態および多項式時間の設定において、深さに関する遅延成長則は成り立つか？ すなわち、浅い系列から効率的に深さのある系列を生成できないか？
• RQ4 多項式時間定式化において、証明可能に深い自然で非自明な言語は存在するか？
• RQ5 一様な指数時間還元を用いて、Eのハーティング言語の類似物が多項式時間で深いと示せるか？

主な発見

• 有限状態の深さと多項式時間の深さは、計算的深さの直感的感覚と整合する、well-definedな複雑性理論的定式化である。
• 自明でかつランダムな無限系列は、両方の定式化において浅い。これは、非自明な計算的内容を持つ系列のみが深さを持つことを確認する。
• 両方の定式化において遅延成長則が成り立つ。これは、深さのある系列が浅い系列から効率的に生成できないことを示唆する。
• Eのハーティング言語の類似物は、一様な指数時間還元に関する一般的結果を用いて多項式時間で深いと証明された。
• Eの非無視可能な部分集合から一様な指数時間で還元可能な任意の言語は多項式時間で深い。これにより、広範な深さを持つ言語のクラスが確立された。
• 結果として、E内に深さのある言語が存在し、一様還元においてもその性質が保持されることを示した。これは、本質的に複雑な計算問題が存在することを支持する。