[論文レビュー] Feasible Interpolation for QBF Resolution Calculi

Olaf Beyersdorff, Leroy Chew+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、CDCL-および展開ベースのソルバーを含む、すべての解像度に基づくQBF証明システムに対して、実行可能補間を一般化された下界技術として確立する。証明から補間子を効率的に抽出できることを示し、クリーク問題に基づく新しいQBF式のクラスに対して指数的下界を導出する。

ABSTRACT

In sharp contrast to classical proof complexity we are currently short of lower bound techniques for QBF proof systems. In this paper we establish the feasible interpolation technique for all resolution-based QBF systems, whether modelling CDCL or expansion-based solving. This both provides the first general lower bound method for QBF proof systems as well as largely extends the scope of classical feasible interpolation. We apply our technique to obtain new exponential lower bounds to all resolution-based QBF systems for a new class of QBF formulas based on the clique problem. Finally, we show how feasible interpolation relates to the recently established lower bound method based on strategy extraction.

研究の動機と目的

• QBF証明システムにおける一般化された下界技術の欠如という問題に取り組む。これは、現在のところQBFソルバーの複雑さの分析を制限している。
• 成功した命題論理証明複雑性における実行可能補間法を、これまで適用可能でなかったQBFの文脈に拡張する。
• Q-Res、LD-Q-Res、QU-Res、LQU+ -Res、IRM-calcを含む、多様なQBF解像度システムにわたる下界を導出する統一された枠組みを提供する。
• 実行可能補間と最近開発された戦略抽出法との間に接続を確立し、両者の概念的および技術的類似性を示す。

提案手法

• 古典的な実行可能補間技法をQBFに適応させる。具体的には、背理証明から、普遍変数のための勝利戦略を計算するブール回路を構築する。
• 背理証明を2つの部分に分割する証明変換を定義する。一方は存在的側（A）、他方は普遍的側（B）であり、それぞれのシステム下で導出可能性を保つ。
• 証明構築中にクラウーズの内容とゲートの挙動を追跡するための修正されたインヴァリアントシステムを用い、回路が共有変数の各割り当てに対して正しく戦略を反映することを保証する。
• 普遍変数における解像度手順を処理するための回路構築におけるワイヤリング機構を導入する。これにより、たとえば恒等ゲートを用いて1つの分岐を選択しても、正当性が損なわれない。
• 構築された回路の出力ゲートが、σ(→p) を計算することを証明する。具体的には、A または B が充足不能である割り当てに対して、それが論理的に偽に評価されることを検証する。
• LQU+ -Res や IRM-calc などの下位の解像度システムの健全性を活用し、抽出された回路が背理証明の論理的構造を正しく反映していることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実行可能補間は、CDCL または展開ベースの解釈を採用するかに関わらず、すべての解像度に基づくQBF証明システムに一般化可能か？
• RQ2 QBF証明から補間子を効率的に抽出できる条件は何か？また、これと証明サイズの下界との関係は？
• RQ3 理論的基盤および適用可能性の観点から、実行可能補間法は戦略抽出法とどのように比較できるか？
• RQ4 実行可能補間技法を用いて、従来の例を超える新しいQBF式のクラスに対して指数的下界を示すことができるか？

主な発見

• 実行可能補間は、Q-Res、LD-Q-Res、QU-Res、LQU+ -Res、IRM-calc を含む、すべての解像度に基づくQBF証明システムに適用可能であり、一般化された下界手法として確立される。
• LQU+ -Res や IRM-calc におけるいかなる背理証明に対しても、普遍変数の勝利戦略を計算するブール回路を多項式時間で抽出可能である。
• 共有変数が前提に正にのみ現れる場合、抽出された回路は単調である。これは、元の証明の構造を保つ。
• 本手法により、クリーク問題に基づく新しいQBF式のクラスに対して指数的下界が得られ、従来のサイズ-幅法では証明できなかった。
• 実行可能補間法は形式的に戦略抽出技法と接続されており、両者とも証明から同等の戦略的情報を抽出していることが示された。
• 本手法は異なる証明システムにわたり堅牢であり、制御された回路ワイヤリングとインヴァリアントの保存を用いて、普遍変数における解像度手順に対応できるように適合可能である。