[論文レビュー] Feasibly Reducing KAT Equations to KA Equations

James Worthington|ArXiv.org|Jan 15, 2008

Logic, programming, and type systems参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Kleene代数 with テスト（KAT）方程式を標準的Kleene代数（KA）方程式へ多項式時間の還元を提示する。従来の方法に見られる指数的ブロードアップを回避する。KAT項を行列表現を用いた有限オートマトンとして符号化し、ガード付き文字列代数の技術を適用することで、等式の妥当性を保ちつつ、サイズ効率の良い変換を実現する。これにより、命題的プログラム同等性およびホーア論理的性質の効率的検証が可能になる。

ABSTRACT

Kleene algebra (KA) is the algebra of regular events. Familiar examples of Kleene algebras include regular sets, relational algebras, and trace algebras. A Kleene algebra with tests (KAT) is a Kleene algebra with an embedded Boolean subalgebra. The addition of tests allows one to encode { t while} programs as KAT terms, thus the equational theory of KAT can express (propositional) program equivalence. More complicated statements about programs can be expressed in the Hoare theory of KAT, which suffices to encode Propositional Hoare Logic. That the equational theory of KAT reduces to the equational theory of KA has been shown by Cohen et al. Unfortunately, their reduction involves an exponential blowup in the size of the terms involved. Here we give an alternate feasible reduction.

研究の動機と目的

• 既存のKAT方程式からKA方程式への還元における指数的ブロードアップを解消すること。
• KATの等式推論をKAに還元する多項式時間かつサイズ効率の良い手法を開発すること。
• KAベースの証明システムを用いて、命題的プログラム同等性およびホーア論理的性質の実用的検証を可能にすること。
• KATのホーア理論が、多項式的オーバーヘッドのみでその等式理論に還元可能であることを示すこと。
• 決定的whileプログラムが、等価性証明を効率的に行える構造的性質を持つオートマトンを生成すること。

提案手法

• Kleene代数上の行列表現を用いてKAT項を有限オートマトンとして符号化すること。
• ガード付き文字列代数を用いてKAT項の意味をモデル化し、同等のKA式を導出すること。
• KATの連結およびスターの補題を適用して合成項の遷移行列を構築すること。
• ブール公理を用いて遷移行列を簡略化し、最小でエプシロンを含まないオートマトンを生成すること。
• 単純なオートマトンの帰納的合成を通じてKAT項のオートマトンを構築し、ガード付き文字列の意味論を保つこと。
• オートマトンに部分集合構成を適用して決定性を検証し、等価性証明に寄与するのはアクセス可能な状態のみであることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KATの等式理論を、指数的ブロードアップなしにKAの等式理論に還元できるか？
• RQ2 KATの等式含意をKA方程式に還元する際の計算複雑度は何か？
• RQ3 KAT項から構築されたオートマトンは、意味的同等性を保ちつつどのように簡略化できるか？
• RQ4 KATのホーア理論を効率的にその等式理論に還元できるか？
• RQ5 決定的whileプログラムは、等価性チェックを多項式時間で行える構造的性質を持つオートマトンを生成するか？

主な発見

• 本論文は、KAT方程式からKA方程式への還元を、サイズの増加が多項式的であるように実現し、従来の方法の指数的ブロードアップを回避した。
• 還元は、行列表現を用いたオートマトン符号化とガード付き文字列代数を用い、PSPACEで証明が生成される。
• KATのホーア理論は、項サイズが定数倍にしか増加しない範囲で、効率的にKATの等式理論に還元可能である。
• 決定的whileプログラムに対しては、構築されたオートマトンは初期状態が1つであり、出力遷移は任意のガード付き文字列の最初の記号と一致する。また、到達可能な状態は疎である。
• サイズnおよびmのKAT項から導かれるオートマトンの等価性証明は、オートマトンの構造的性質のおかげで、n + mに関して多項式時間で生成可能である。
• 本手法により、KAベースの証明システムを用いて、命題的プログラム同等性およびホーア論理的性質の効率的検証が可能になった。