[論文レビュー] Fedosov Quantization and Perturbative Quantum Field Theory

Giovanni Collini|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Quantum Mechanics and Applications被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、元来有限次元のシンプレクティック多様体に対して定義されたFedosovの変形量子化を、ラグランジュ量子場理論に由来する無限次元位相空間へ一般化する。ジャネットバンドル上でのFedosov型接続を用いてスター積を構成し、オンシェルW特異性を用いることで、摂動的量子場理論と整合し、無限次元における正規化および表現の不確かさの問題を解消する数学的に厳密な変形理論的量子化スキームを提供する。

ABSTRACT

Fedosov has described a geometro-algebraic method to construct in a canonical way a deformation of the Poisson algebra associated with a finite-dimensional symplectic manifold ("phase space"). His algorithm gives a non-commutative, but associative, product (a so-called "star-product") between smooth phase space functions parameterized by Planck's constant $\hbar$, which is treated as a deformation parameter. In the limit as $\hbar$ goes to zero, the star product commutator goes to $\hbar$ times the Poisson bracket, so in this sense his method provides a quantization of the algebra of classical observables. In this work, we develop a generalization of Fedosov's method which applies to the infinite-dimensional symplectic "manifolds" that occur in Lagrangian field theories. We show that the procedure remains mathematically well-defined, and we explain the relationship of this method to more standard perturbative quantization schemes in quantum field theory.

研究の動機と目的

• 有限次元のシンプレクティック幾何学において成功を収めたFedosovの変形量子化を、量子場理論の無限次元位相空間へ拡張すること。
• QFTにおけるStone-von Neumannの定理およびHaagの定理の失敗により、標準的量子化が無効になり、表現の不確かさが生じる問題に対処すること。
• 変形量子化を用いて、曲がった時空における相互作用をもつスカラー場のための数学的に明確な幾何学的量子化手順を提供すること。
• Fedosov型スター積と因果的摂動理論などの標準的摂動的QFTスキームとの間の明確な関係を確立すること。
• 関数的微分の波面集合に基づくオンシェルW滑らかさを用いて、無限次元余接バンドル上の滑らかなかき出しを定義し、時間順序積およびフェ Feynman propagator の微層的制御を保証すること。

提案手法

• 場の配置の無限次元ジャネット空間上のWeyl代数バンドルに、平坦な接続を構成することで、Fedosovの手法を適応する。
• テンソル積の余接バンドルの切断に対して、関数的微分の波面集合に基づく、オンシェルW滑らかさの概念を導入する。
• 切り捨て関数と作用素 $\sigma_c \circ E_\phi$ を用いて、分布を正しい特異性支持クラスに射影し、波面集合条件 $W_n$ と整合性を保証する。
• 曲率およびねじれが場の運動方程式と解空間上のシンプレクティック構造に従って制御される、Fedosov型再帰を用いてスター積を定義する。
• 自由スカラー場および相互作用をもつKlein-Gordon理論に形式を適用し、時間順序積およびフェインマン propagator がスター積構造から自然に導かれることが示される。
• 得られる代数が結合的で、かつ $\hbar \to 0$ の極限で交換子が $\hbar$ 倍のポisson括弧を回復することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ場理論に由来する無限次元シンプレクティック多様体に対して、Fedosovの変形量子化を拡張することは可能か？
• RQ2 場の配置上の関数の代数に一貫したスター積を定義する方法は何か？ その際、結合的および正しい古典的極限を保つ必要がある。
• RQ3 微層的解析（波面集合）は、摂動的QFTにおける時間順序積の滑らかさおよび特異性支持を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ4 このFedosov型構成は、因果的摂動理論やEpstein-Glaser法などの標準的摂動的量子化スキームとどのように関係するか？
• RQ5 Haagの定理に起因するQFTにおける表現の不確かさは、幾何学的で変形理論的なアプローチによって解消可能か？

主な発見

• Fedosovの構成は、古典的場理論の無限次元位相空間へ一般化され、場の配置関数の上に数学的に明確で結合的なスター積をもたらす。
• この方法により、スター積の交換子が古典的極限で $\hbar$ 倍のポisson括弧を再現することが保証され、観測量代数の量子化が確認される。
• オンシェルW滑らかさは、無限次元余接バンドルの滑らかな切断を数学的に厳密に特徴づけ、波面集合条件が微層的正則性を保証する。
• 摂動的QFTにおける時間順序積およびフェイマン propagator は、Fedosov接続および解空間上のシンプレクティック構造の選択から自然に導かれる。
• 切り捨て関数 $c$ の選択に依存しない（$P_\phi \mathcal{E}'_W(M^n)$ の元を除いて）という点で、正則化の選択に対して堅牢である。
• スター積を定義する写像は単射かつ全射であるため、特異性支持制約を満たす関数の空間上で代数的構造が一貫して定義されていることが確認される。