[論文レビュー] Feedback arc set problem and NP-hardness of minimum recurrent configuration problem of Chip-firing game on directed graphs

Kévin Perrot, Trung Van Pham|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Theoretical and Computational Physics参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、オイラー有向グラフ上のチップ・ファイアリング・ゲームにおける最小フィードバックアーク集合（MINFAS）問題と最小再発的配置（MINREC）問題の間にきわめて強い関係を確立する。オイラー有向グラフ上でのMINFASがNP困難であることを示したことで、著者たちはMINRECもNP困難であることを示し、このクラスのグラフにおける主要な計算複雑性の問題を解決した。また、既知のNP困難性結果を非有向グラフの自然な一般化であるこのクラスに拡張した。

ABSTRACT

In this paper we present further studies of recurrent configurations of Chip-firing games on Eulerian directed graphs (simple digraphs), a class on the way from undirected graphs to general directed graphs. A computational problem that arises naturally from this model is to find the minimum number of chips of a recurrent configuration, which we call the minimum recurrent configuration (MINREC) problem. We point out a close relationship between MINREC and the minimum feedback arc set (MINFAS) problem on Eulerian directed graphs, and prove that both problems are NP-hard.

研究の動機と目的

• オイラー有向グラフ上のチップ・ファイアリング・ゲームにおける再発的配置の最小チップ数を求める問題の計算複雑性を調査すること。
• オイラー有向グラフにおけるフィードバックアーク集合と再発的配置の構造的関係を調査すること。
• 最小再発的配置（MINREC）問題が多項式時間で解けるのか、それともNP困難なのかを特定すること。
• フィードバックアーク集合問題の既知のNP困難性結果を、非有向グラフと一般有向グラフの間の中間クラスであるオイラー有向グラフに拡張すること。

提案手法

• オイラー有向グラフにおけるフィードバックアーク集合の補集合として、最大無閉路アーク集合の概念を導入する。
• 最大無閉路アーク集合を、入次数がゼロであるシンク頂点を用いて定義される特定の部分集合に制限して求められることを証明する。
• 各頂点 v ≠ s に対して c(v) = deg⁺(v) − deg⁻_A(v) で定義される配置写像を介して、無閉路アーク集合と再発的配置の間の全単射を確立する。
• 発火グラフモデルを用いて再発的配置を分析し、チップ数の下界を導出する。
• すべての非シンク頂点 v について Σ deg⁺(v) = k + k′ であることを示すことにより、MINREC からオイラー有向グラフ上の MINFAS への多項式時間還元を構築する。
• 既知のオイラー有向グラフ上での MINFAS のNP困難性を活用し、一般有向グラフ上での MINREC のNP困難性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー有向グラフ上での最小再発的配置（MINREC）問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 オイラー有向グラフ上でのフィードバックアーク集合問題は効率的に解けるか、それともNP困難か？
• RQ3 オイラー有向グラフにおける無閉路アーク集合と再発的配置の構造的関係は何か？
• RQ4 オイラー有向グラフ上での MINFAS のNP困難性は、一般有向グラフ上での MINREC のNP困難性を示唆するか？
• RQ5 オイラー有向グラフ上での最小再発的配置は、無閉路向き付けやアーク集合によって特徴付けられるか？

主な発見

• 最小再発的配置（MINREC）問題が、フィードバックアーク集合問題への還元によって、オイラー有向グラフ上でNP困難であることが示された。
• オイラー有向グラフ上でのフィードバックアーク集合問題がNP困難であることが示され、これにより以前の困難性結果がこの中間クラスのグラフに拡張された。
• 最小再発的配置におけるチップ総数と最大無閉路アーク集合のサイズとの間の多項式時間同値性が確立された：すべての非シンク頂点について Σ deg⁺(v) = k + k′ が成り立つ。
• 無閉路部分グラフにインデグリーがゼロのシンク頂点 s が存在することにより、最小チップ数の再発的配置を構築できる。
• MINREC 問題は、単一のシンクを持つオイラー有向グラフに制限されても依然としてNP困難であることが示された。これは自然で構造的な部分クラスである。
• 良いシンクが存在する（つまり、すべての最大無閉路アーク集合が同じサイズを持つ）オイラー有向グラフのクラスは広いが完全には特徴付けられておらず、これはMINFASに対する潜在的なヒューリスティクスを示唆している。