[論文レビュー] Feedback Regularization and Geometric PID Control for Trajectory Tracking of Coupled Mechanical Systems: Hoop Robots on an Inclined Plane

T. W. U. Madhushani, D. H. S. Maithripala+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、斜面に置かれたアンダーアクチュエーテッドなカップルド機械的システム、特にホイルロボットを対象として、座標に依存しない幾何学的PID制御フレームワークを提案する。フィードバック正則化を導入してシステムを機械的構造に変換し、それに幾何学的PID制御を組み合わせることで、定常外乱およびパrameter不確実性（未知の斜面傾きを含む）に対しても、ほぼ半グローバルで局所的指数的追従性を達成する。

ABSTRACT

This paper applies geometric PID control for asymptotic tracking of a desired trajectory by a hoop robot in the presence of disturbances and uncertainties. The hoop robot, consisting of a circular body rolling without slip along a one-dimensional surface, is a planar analog of a spherical robot. A variety of coupled mechanical system may be used to actuate the hoop robot. This paper specifically considers two different actuators, one a simple pendulum and the other an internal cart. The geometric PID controller requires the plant to be a mechanical system, and the hoop robot does not satisfy this condition. Therefore a geometric inner loop is presented that gives the hoop robot the required structure. This procedure is here referred to as feedback regularization. Feedback regularization--in contrast to feedback linearization--is coordinate independent, and hence reflects the fundamental system structure. Note also that the resulting mechanical system is nonlinear and underactuated. Subsequently, the geometric PID outer loop guarantees almost-semiglobal tracking with locally exponential convergence, and the integral action of the PID guarantees robustness to constant disturbances and parameter uncertainties, including constant inclination of the rolling surface. The complete tracking controller is the composition of the two coordinate-independent loops, and therefore is also coordinate independent.

研究の動機と目的

• アンダーアクチュエーテッドな機械的システム（ホイルロボットなど）における軌道追従の課題に取り組むこと。これらは本質的に非線形的であり、完全な駆動を備えていない。
• 幾何学的PID制御が通常機械的システム構造を必要とすることという制限を克服すること。ホイルロボットは自然にはその構造を満たさない。
• 制御設計における積分作用を通じて、定常外乱およびパrameter不確実性（未知の表面傾きを含む）に対してロバスト性を確保すること。
• 座標に依存しない制御フレームワークを構築し、システム構造を保存するとともに、座標パッチの特異点を回避すること。
• 簡単な単振子および内部キャリッジという2つの具体的な駆動機構を用いて、その有効性を示すこと。

提案手法

• フィードバック正則化を適用して、制御入力を再定義することでホイルロボットを機械的システムに変換し、幾何的制御に適した構造的要件を満たす。
• 速度微分のためのリーマン多様体上でのリーマン接続（Levi-Civita接続）を用いて、幾何的PID制御器を設計し、積分作用の適切な定式化を可能にする。
• 制御器を2つの座標に依存しないループに分解する：幾何的内側ループ（フィードバック正則化）と外側ループ（幾何的PID）による軌道追従。
• リャプノフに基づく安定性解析を用い、追従誤差の局所的指数的収束を証明するための合成エネルギー関数 $ W_s $ を導入する。
• 結合性およびリーマン構造に起因する3次および2次速度項の影響を、ゲイン選択によってバウンディングする。
• 十分に大きなPIDゲインを選択することで、$ _{ ext{min}}(Q_s) $ を任意に大きくし、指数的収束およびアクチュエータ速度の有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的PID制御は、完全に駆動されていないアンダーアクチュエーテッドな機械的システムにおける出力追従に拡張可能か？
• RQ2 ホイルロボットのような非機械的システムを、幾何的制御に適した機械的システムに変換する方法は何か？
• RQ3 フィードバック正則化は、制御設計におけるフィードバック線形化の座標に依存しない代替手段として機能可能か？
• RQ4 定常外乱およびパrameter不確実性が存在する状況で、ほぼ半グローバルで局所的指数的収束を保証する条件は何か？
• RQ5 非線形結合およびアンダーアクチュエーションが存在する中で、収束を保証するとともにアクチュエータ速度を有界に保つには、どのように制御器を設計すべきか？

主な発見

• 提案されたフィードバック正則化は、ホイルロボットを機械的システムに効果的に変換し、幾何的制御手法の適用を可能にした。
• 幾何的PID制御器は、有界なパrameter不確実性および定常外乱が存在する中でも、ほぼ半グローバルで局所的指数的収束を達成し、追従誤差をゼロに保証する。
• PID制御器の積分作用により、傾斜角の事前知識がなくても、定常外乱（特に未知の表面傾き）に対してロバスト性を発揮する。
• 十分に大きなPIDゲインを選択することで、$ ho_{ ext{min}}(Q_s) $ を任意に大きくでき、指数的収束およびアクチュエータ速度の有界性を保証できる。
• 初期条件およびゲインを適切に選べば、すべての $ t > 0 $ に対して $ ||v_a(t)|| < k_a $ を満たし、安定性および収束を保証する。
• 閉ループ系は、$ \dot{W}_s \equiv 0 $ となる最大の不変集合に収束する。これは所望の平衡点 $ (\bar{y}_0, 0) $ に対応し、漸近的追従性が確認された。