[論文レビュー] Feedback stabilization and boundary controllability of the Korteweg-de Vries equation on a star-shaped network

Kaïs Ammari, Emmanuelle Crépeau|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、N本の辺からなるスターベースのネットワーク上でのKorteweg-de Vries (KdV) 方程式のフィードバック安定化および境界可制御性を研究する。well-posednessを確立し、エネルギーの指数的減衰を証明し、臨界長でない条件下で外部ノードおよび中心ノードにおける(N+1)個の制御を用いて局所的厳密境界可制御性を示す。

ABSTRACT

We propose a model using the Korteweg-de Vries $(KdV)$ equation on a finite star-shaped network. We first prove the well-posedness of the system and give some regularity results. Then we prove that the energy of the solutions of the dissipative system decays exponentially to zero when the time tends to infinity. Lastly we show an exact boundary controllability result.

研究の動機と目的

• 動脈血流動力学への応用を想定し、スターベースのネットワーク上でのKorteweg-de Vries (KdV) 方程式のモデル化と解析を行う。
• このようなネットワーク上でのKdVシステムのwell-posednessおよび正則性を確立し、数学的整合性を保証する。
• 中心ノードにおける散乱境界条件の下で、システムのエネルギーが指数的に減衰することを証明する。
• 外部ノードおよび中心ノードにおける(N+1)個の境界制御を用いて、線形化されたおよび非線形KdVシステムの境界可制御性を達成する。

提案手法

• N本の有限長ℓjを有する辺からなるスターベースのネットワーク上でのKdV方程式を、中心ノードにおける連続性およびキルヒホッフ型の条件を含む、結合されたPDE系として定式化する。
• 自然エネルギーE(t) = (1/2)∑‖uj(t,⋅)‖L²(0,ℓj)²を定義し、散乱項−(α − N/2)|u₁(t,0)|²のおかげで非増大であることを示す。
• 随伴系に対する観測可能性不等式を適用して可制御性を証明し、Hilbertの一意性法 (HUM) を用いる。
• 固定点法を用いて、線形化されたシステム (LKdV) の局所的可制御性結果を非線形KdVシステムへ拡張する。
• 境界条件を設定する：外部ノードではゼロのディリクレおよびノイマン条件を、中心ノードでは2階微分の和を含む非線形または線形条件を適用する。
• 観測可能性を保証するため、非臨界ネットワーク長、すなわち臨界長の集合𝒩に高々1本の辺長が含まれることを要請する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限長の辺からなるスターベースのネットワーク上でのKorteweg-de Vries方程式は、well-posedかつ正則性を有するか？
• RQ2 中心ノードにおける散乱境界条件の下で、スターベースのネットワーク上でのKdVシステムのエネルギーは指数的に減衰するか？
• RQ3 外部ノードおよび中心ノードにおける境界制御を用いて、スターベースのネットワーク上での線形化KdVシステムは厳密に可制御か？
• RQ4 同じネットワーク構造上での非線形KdVシステムに対し、局所的厳密可制御性を線形化システムの結果から拡張できるか？

主な発見

• スターベースのネットワーク上でのKdVシステムは、適切な初期データのもとでL²(𝒯)空間においてwell-posedであり、解は十分な正則性を有する。
• α > N/2 であれば、散乱システムのエネルギーE(t)はt → ∞ で指数的にゼロに収束する。
• 随伴系に対して観測可能性不等式が成り立つ：‖φᵀ‖²_{L²(𝒯)} ≤ C(∑‖∂ₓφⱼ(⋅,ℓⱼ)‖²_{L²(0,T)} + ∫₀ᵀ φ₁²(t,0) dt)，T > 0 および非臨界長に対して有効。
• 線形化システム (LKdV_control) に対しては、高々1本の辺長が臨界である場合に厳密境界可制御性が達成される。
• 非線形KdVシステム (KdV_control) に対しては、原点の近傍で局所的厳密境界可制御性が確立され、初期状態および目標状態がL²(𝒯)に属し、ノルムが小さいものとする。
• 可制御性結果は(N+1)個の制御に依存する：中心ノードに1つ、各外部ノードに1つ。将来的には数を削減する可能性がある。