[論文レビュー] Feedback stabilization of a 1D linear reaction-diffusion equation with delay boundary control

Christophe Prieur, Emmanuel Trélat|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 114

ひとこと要約

本論文は、1D反応拡散PDEの不安定部に遅延Dirichlet境界制御を適用する有限次元遅延制御器を設計し、全PDEの指数安定化を証明する。構成的なArtsteinベースのアプローチとLyapunov解析を用いる。

ABSTRACT

The goal of this work is to compute a boundary control of reaction-diffusion partial differential equation. The boundary control is subject to a constant delay, whereas the equation may be unstable without any control. For this system equivalent to a parabolic equation coupled with a transport equation, a prediction-based control is explicitly computed. To do that we decompose the infinite-dimensional system into two parts: one finite-dimensional unstable part, and one stable infinite-dimensional part. An finite-dimensional delay controller is computed for the unstable part, and it is shown that this controller succeeds in stabilizing the whole partial differential equation. The proof is based on a an explicit form of the classical Artstein transformation, and an appropriate Lyapunov function. A numerical simulation illustrate the constructive design method.

研究の動機と目的

• 境界入力遅延を伴う1D反応拡散方程式の安定化を動機づけ、解決する。
• 有界でない境界制御作用素を扱う構成的な安定化手法を開発する。
• 無限次元系を不安定な有限次元部と安定な無限次元部に分割する。
• 不安定な部分に遅延を伴う有限次元制御器を設計し、それが全てのPDEを安定化することを証明する。
• 提案設計手法の数値例を示す。

提案手法

• 遅延をモデル化するために、遅延境界制御問題を結合PDE-輸送系へ変換する。
• スペクトル縮約を行い、状態を不安定な有限次元部と安定な無限次元部に分解する。
• 有限次元部にArtsteinモデル縮約を適用して入力遅延を除去し、極移動を用いて安定化ゲインを設計する。
• Artstein変換を逆符号化してフィードバックを元の状態の関数として表現し、閉ループ系のLyapunov関数を導出する。
• 有限次元Lyapunov項と無限次元部の散逸項を結合したLyapunov汎函数V_Dを構築し、指数減衰を示す。
• 設計手法の数値例を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一定遅延を伴う境界制御は、制御なしでは不安定な1D反応拡散方程式を安定化できるか。
• RQ2 有限次元の不安定部だけを安定化すれば、全体の無限次元系の安定化を保証できるか。
• RQ3 不安定モードに対して、Artstein変換を用いて明示的で実装可能な遅延フィードバックを設計するにはどうすればよいか。
• RQ4 提案されたLyapunov汎関数は、全体の連結PDE-輸送系の指数安定性を保証するか。
• RQ5 遅延Dは設計と安定性にどう影響するか、任意の遅延を許容できるか。

主な発見

• D ≥ 0 に対しても1D反応拡散方程式の遅延Dirichlet境界制御に対する安定化境界フィードバックが存在する。
• 遅延入力を伴う有限次元自律線形制御器は、Artstein縮約とポールシフティングを用いて不安定な有限次元部を安定化できるよう設計できる。
• 設計されたフィードバックを元の変数に戻すと、全PDE系を指数的に安定化するretarded制御となる。
• 有限次元二次項と散逸的な無限次元項を組み合わせたLyapunov汎函数が、閉ループ系の指数安定性を証明する。
• このアプローチは遅延Dについての小ささ仮定を必要とせず、構成的な数値例を含む。