[論文レビュー] Feedback Stabilization of the Two-Dimensional Navier-Stokes Equations by Value Function Approximation

Tobias Breiten, Karl Kunisch+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 49被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、2次元ナビエ＝ストークス方程式の無限時間ホライズン最適制御における定常状態まわりの値関数の滑らかさを確立し、そのテイラー展開を用いて多項式フィードバック則を構成し、得られる安定化制御および閉ループ系の収束速度を証明する。値関数の導関数は2次のリカッチ方程式と一般化されたリャプノフ方程式を満たし、近似を用いた効率的なフィードバック安定化が可能となる。

ABSTRACT

The value function associated with an optimal control problem subject to the Navier-Stokes equations in dimension two is analyzed. Its smoothness is established around a steady state, moreover, its derivatives are shown to satisfy a Riccati equation at the order two and generalized Lyapunov equations at the higher orders. An approximation of the optimal feedback law is then derived from the Taylor expansion of the value function. A convergence rate for the resulting controls and closed-loop systems is demonstrated.

研究の動機と目的

• 2次元ナビエ＝ストークス方程式の無限時間ホライズン最適制御における値関数の正則性を分析すること。
• 値関数を古典的意味でハミルトン＝ジャコビ＝ベルマン（HJB）方程式の解として特徴付けること（バナディット解の意味でのみでなく）。
• 定常状態まわりの値関数のテイラー展開を用いて多項式フィードバック則を導出すること。
• 得られるフィードバック制御およびそれに対応する閉ループ系の収束速度を確立すること。
• 値関数の2階微分が代数的リカッチ方程式を満たし、高階微分が一般化されたリャプノフ方程式を満たすことを示すこと。

提案手法

• 値関数が定常状態の近傍で滑らかであることが示され、HJB方程式が古典的解として満たされる。
• 値関数の2階微分が代数的リカッチ方程式を満たすことが証明される。
• 高階微分がナビエ＝ストークス方程式の非線形構造に起因する一般化されたリャプノフ方程式を満たすことが示される。
• 値関数のテイラー展開を用いて、所定の次数までフィードバック制御則が構成される。
• ナビエ＝ストークス方程式の非線形項に特化した関数解析的推定を用いて、閉ループ系の適切な定義（well-posedness）が確立される。
• 値関数の近似誤差に基づいて、フィードバック制御および得られる閉ループ系の収束速度が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ナビエ＝ストークス方程式の無限時間ホライズン最適制御問題における値関数は、定常状態の近傍で滑らかか？
• RQ2 値関数の微分は、リカッチ方程式および一般化されたリャプノフ方程式の解として特徴付けられるか？
• RQ3 値関数のテイラー展開は、定量的な収束速度を伴う安定化フィードバック則を導くか？
• RQ4 ナビエ＝ストークス方程式の非線形項は、高階微分の一般化されたリャプノフ方程式の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 値関数をテイラー展開で近似する際、フィードバック制御および閉ループ系の収束速度はどの程度か？

主な発見

• 値関数は定常状態の近傍で滑らかであり、HJB方程式はバナディット解の意味でのみでなく、古典的意味でも満たされる。
• 値関数の2階微分は代数的リカッチ方程式を満たす。
• 高階微分は2次元ナビエ＝ストークス方程式の非線形構造に特有の一般化されたリャプノフ方程式を満たす。
• 値関数のテイラー展開から得られる多項式フィードバック則は、フィードバック安定化の構成的手段を提供する。
• 得られるフィードバック制御はシステムを安定化させ、制御および閉ループ系の両方の収束速度が確立される。
• 初期摂動が小さい範囲では、閉ループ系の適切な定義が保証され、制御は状態への有界線形作用素として作用する。