[論文レビュー] Feedback Stabilization over Commutative Rings: Further study of the coordinate-free approach

Kazuyoshi Mori, Kenichi Abe|ArXiv.org|Feb 22, 1999

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可換環上におけるMIMOシステムのフィードバック安定化の座標フリーなアプローチを展開し、Suleの結果を一般化する。2つの基準を導入する：1つは因果的プラントから生成される射影的モジュールに基づくもの、もう1つは一般化された基本的因子を用いるものである。互いに素な因子分解や厳密因果性を要件としない安定化可能性の条件を確立し、離散的有限時間遅延システムへの応用を示す。

ABSTRACT

This paper is concerned with the coordinate-free approach to control systems. The coordinate-free approach is a factorization approach but does not require the coprime factorizations of the plant. We present two criteria for feedback stabilizability for MIMO systems in which transfer functions belong to the total rings of fractions of commutative rings. Both of them are generalizations of Sule's results in [SIAM J. Control Optim., 32-6, 1675-1695(1994)]. The first criterion is expressed in terms of modules generated from a causal plant and does not require the plant to be strictly causal. It shows that if the plant is stabilizable, the modules are projective. The other criterion is expressed in terms of ideals called generalized elementary factors. This gives the stabilizability of a causal plant in terms of the coprimeness of the generalized elementary factors. As an example, a discrete finite-time delay system is considered.

研究の動機と目的

• 可換環上におけるMIMOシステムのSuleのフィードバック安定化結果を、座標フリーな枠組みを用いて一般化すること。
• 伝統的な因数分解アプローチにおける主要な制限要因であるプラントの互いに素な因子分解の必要性を排除すること。
• 因果的および非厳密因果的プラントの両方に適用可能な安定化可能性の基準を開発すること。
• 一般化された基本的因子を用いて、互いに素性条件を通じて安定化可能性を評価するためのツールとして導入すること。
• 離散的有限時間遅延システムの例を通じて、この枠組みの適用可能性を示すこと。

提案手法

• プラントの伝達関数から生成されるモジュールの射影的性質を、全分数環上でのフィードバック安定化可能性の観点から定式化する。
• 一般化された基本的因子を、プラントの伝達関数行列から導かれるイデアルとして導入する。
• これらの一般化された基本的因子の互いに素性に基づく安定化可能性基準を確立する。
• 非厳密因果的システムを扱うために、モジュール論的アプローチを適用し、厳密因果性に関する仮定を避ける。
• 可換環の代数的構造およびその全分数環を用いて、制御理論的結果を一般化する。
• 明示的な状態空間表現やパrameter化を避ける座標フリーな枠組みを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プラントの互いに素な因子分解に依存せずに、フィードバック安定化可能性をどのように特徴づけられるか？
• RQ2 プラントによって生成されるモジュールに課される代数的条件は何か？ その条件が可換環上での安定化可能性を保証する。
• RQ3 一般化された基本的因子の概念を、座標フリーな設定で安定化可能性を決定するのに用いることができるか？
• RQ4 提案された枠組みは、Suleの結果を非厳密因果的MIMOシステムへどのように拡張するか？
• RQ5 射影的モジュールは、可換環上での安定化可能システムを特徴づけるために果たす役割は何か？

主な発見

• 因果的MIMOプラントがフィードバック安定化可能であるための必要十分条件は、その伝達関数から生成されるモジュールが全分数環上で射影的であることである。
• 因果的プラントの安定化可能性は、その一般化された基本的因子の互いに素性と同値である。
• 提案された基準は、互いに素な因子分解や厳密因果性の要件を排除することで、Suleの結果を一般化する。
• 離散時間の例で示されるように、この枠組みは有限時間遅延を有するシステムへも適用可能である。
• 座標フリーなアプローチにより、モジュール論とイデアル論的条件を用いた、統一的な代数的特徴づけが可能になる。
• 結果は、可換環の全分数環に対して有効であり、多項式環や有理関数環に限らない範囲へと拡張される。