[論文レビュー] Fekete-Szego Inequality For Analytic And Bi-univalent Functions Subordinate To (p; q)-Lucas Polynomials

Ala Amourah|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Analytic and geometric function theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、(p,q)-ラウス多項式に従属する解析的かつ双一意的関数の新しい部分集合を導入し、Fekete-Szegő問題をこのクラスに対して解明している。(p,q)-ラウス多項式の再帰関係から得られる係数の上限と、従属関係の原則を用いることで、関数 |a₃ − υa₂²| の鋭い不等式を確立し、既知の双星型関数に対する結果を一般化するとともに、パrameterized微分従属を用いた係数推定をより広い関数クラスへ拡張している。

ABSTRACT

In the present paper, a subclass of analytic and bi-univalent functions by means of (p; q)- Lucas polynomials is introduced. Certain coefficients bounds for functions belonging to this subclass are obtained. Furthermore, the Fekete-Szego problem for this subclass is solved.

研究の動機と目的

• (p,q)-ラウス多項式を用いた、解析的かつ双一意的関数の新しい部分集合を定義すること。
• この新しいクラスにおけるテイラー＝マクローリン係数 a₂ および a₃ の鋭い係数上限を導出すること。
• この部分集合に属する関数に対するFekete-Szegő問題を解明し、|a₃ − υa₂²| の推定値を提供すること。
• (p,q)-ラウス多項式従属を組み込むことにより、既知の双星型関数および双凸関数に対する結果を一般化すること。

提案手法

• クラス 𝔅Σμ(α,λ,δ) は、(p,q)-ラウス多項式 Lp,q,k(x) を含む微分従属条件によって定義される。
• 逆関数展開と従属関係の技法を用いて、a₂ および a₃ の係数上限が導出される。
• Fekete-Szegő不等式は、f および f⁻¹ の係数を表す変数 r₂, s₂, r₁, s₁ に変換することで、式 a₃ − υa₂² の分析により確立される。
• 解法は、(p,q)-ラウス多項式の再帰的性質と母関数に依存しており、Lp,q,1(x) = p(x) および Lp,q,2(x) = p²(x) + 2q(x) である。
• 解を |φ(υ,x)| と 1/(2(μ + 2λ + 2ξδ)) の相対的大小に基づく場合分けによって導出する。
• 特別な場合として μ = δ = 0、λ = 1 とすると、既知の双星型関数の結果が回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (p,q)-ラウス多項式に従属する解析的かつ双一意的関数の第二および第三テイラー＝マクローリン係数の鋭い係数上限は何か？
• RQ2 この新しいクラスに属する関数に対して、Fekete-Szegő関数 |a₃ − υa₂²| はどのように振る舞うか？
• RQ3 パrameter μ, λ, δ および (p,q)-ラウス多項式の構造が係数推定に与える影響は何か？
• RQ4 導出された不等式は、既知の双星型関数および双凸関数に対する結果をどのように一般化するか？
• RQ5 υ = 1 あるいは μ = δ = 0、λ = 1 の極限状態において、Fekete-Szegő不等式の境界はどのように変化するか？

主な発見

• |a₂| の鋭い上界は、2|p(x)|√|p(x)| / √| (μ+2λ)[1+μ+12δ/(2λ+1)]p²(x) − 2(μ+λ+2ξδ)²(p²(x)+2q(x)) | で与えられる。
• |a₃| の境界は、p²(x)/ (μ+λ+2ξδ)² + |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ) で抑えられる。
• Fekete-Szegő関数に関して、|a₃ − υa₂²| ≤ |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ) が成り立ち、|υ−1| ≤ |Υ(x)| / [2(μ+2λ+2ξδ)] のとき、ここで Υ(x) は論文で定義されている。
• |υ−1| ≥ |Υ(x)| / [2(μ+2λ+2ξδ)] のとき、境界は 2|p(x)|³|1−υ| / |p(x)Υ(x)| に変化する。
• 特別な場合 μ = δ = 0、λ = 1 では、|υ−1| ≤ |q(x)/p(x)| のとき |a₃ − υa₂²| ≤ |p(x)| となり、そうでない場合は 2|p(x)|³|1−υ| / |4q(x)| となる。
• υ = 1 の場合、境界は |a₃ − a₂²| ≤ |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ) に単純化され、これは双一意的関数に対する古典的Fekete-Szegő不等式を一般化する。