[論文レビュー] Feldman-Katok pseudometric and the GIKN construction of nonhyperbolic ergodic measures

Dominik Kwietniak, Martha Łącka|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非双曲的エルゴード測度のGIKN構成を分析するため、Feldman-Katok擬距離 $\bar{F}_K$ を導入する。すべてのこのような測度が、（同値に）標準的またはゼロエントロピーの弱いベルヌーイ測度（loosely Kronecker 測度）であることを証明し、長年の未解決問題であったエントロピーに関する疑問を解消するとともに、極限測度の構造に対する位相的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

The GIKN construction was introduced by Gorodetski, Ilyashenko, Kleptsyn, and Nalsky in [Functional Analysis and its Applications, 39 (2005), 21--30]. It gives a nonhyperbolic ergodic measure which is a weak$^*$ limit of a special sequence of measures supported on periodic orbits. This method was later adapted by numerous authors and provided examples of nonhyperbolic invariant measures in various settings. We prove that the result of the GIKN construction is always a loosely Kronecker measure in the sense of Ornstein, Rudolph, and Weiss (equivalently, standard measure in the sense of Katok, another name is loosely Bernoulli measure with zero entropy). For a proof we introduce and study the Feldman-Katok pseudometric $\bar{F_{K}}$. The pseudodistance $\bar{F_{K}}$ is a topological counterpart of the $\bar f$ metric for finite-state stationary stochastic processes introduced by Feldman and, independently, by Katok, later developed by Ornstein, Rudolph, and Weiss. We show that every measure given by the GIKN construction is the $\bar{F_{K}}$-limit of a sequence of periodic measures. On the other hand we prove that a measure which is the $\bar{F_{K}}$-limit of a sequence of ergodic measures is ergodic and its entropy is smaller or equal than the lower limit of entropies of measures in the sequence. Furthermore we demonstrate that $\bar{F_{K}}$-Cauchy sequence of periodic measures tends in the weak$^*$ topology either to a periodic measure or to a loosely Kronecker measure.

研究の動機と目的

• GIKN構成によって得られる測度がゼロエントロピーを持つかどうかという未解決問題を解消すること。
• GIKN構成における周期的測度の弱*極限の位相的および測度論的性質を特徴付けること。
• Feldman-Katok擬距離 $\bar{F}_K$ を導入し、有限状態過程における $\bar{f}$-距離の位相的双対としての役割を研究すること。
• GIKN極限測度が、いかなる基盤となる力学系に依存しても、エルゴード的であり、ゼロエントロピーを持つことを確立すること。
• $\bar{F}_K$-収束と弱*収束の関係がエルゴード測度の文脈でどのように成り立つかを明確化すること。

提案手法

• コンパクトな距離空間上の連続力学系に適応された、$\bar{f}$-距離の位相的アナログとしてのFeldman-Katok擬距離 $\bar{F}_K$ を導入すること。
• 一連のエルゴード測度の $\bar{F}_K$-極限として得られる測度は、自身もエルゴード的であり、近似測度のエントロピーの下極限によって上から抑えられるエントロピーを持つことを証明すること。
• $\bar{F}_K$-コーシー列である周期的測度の列が、弱*収束して周期的測度または弱いKronecker測度に収束することを示すこと。
• $\bar{F}_K$-位相を用いてGIKN構成を分析し、極限測度が、$\bar{F}_K$-距離が縮小する周期的測度の列の $\bar{F}_K$-極限であることを示すこと。
• Ornstein, Rudolph, Weissによる標準的（弱いKronecker）測度に関する結果を応用し、GIKN極限測度が標準的であり、したがってゼロエントロピーであることを結論づけること。
• $\bar{f}$-距離理論およびその連続系への拡張を活用し、エントロピーと同型型に関する結果を $\bar{F}_K$-枠組みに移行すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GIKN構成は常にゼロエントロピーの測度を生成するのか？
• RQ2 GIKN構成における弱*極限の正確な位相的および測度論的性質は何か？
• RQ3 Feldman-Katok擬距離 $\bar{F}_K$ は $\bar{f}$-距離および標準的測度の理論とどのように関係するか？
• RQ4 $\bar{F}_K$-位相を用いて、周期的近似の極限におけるエルゴード性とエントロピーを特徴づけられるか？
• RQ5 周期的測度の列が、非周期的で非双曲的エルゴード測度に $\bar{F}_K$-距離で収束するための条件は何か？

主な発見

• GIKN構成は常に弱いKronecker測度を生成する。これはKatokの定義における標準的測度と同値であり、ゼロエントロピーを持つ。
• GIKN構成から得られるすべての測度はエルゴード的であり、周期的測度の列の $\bar{F}_K$-極限として表される。
• 一連のエルゴード測度の $\bar{F}_K$-極限として得られる測度は、自身もエルゴード的であり、近似測度のエントロピーの下極限以上にエントロピーが大きくならない。
• $\bar{F}_K$-コーシー列である周期的測度の列は、弱*収束して周期的測度または弱いKronecker測度に収束する。
• GIKN極限測度の台は、$\bigcap_{k=1}^\infty \overline{\bigcup_{n\geq k} \Gamma_n}$ としての位相的極限である。ここで $\Gamma_n$ は構成における周期軌道を表す。
• 本研究の結果は、[10, Theorem B] よりも強力であり、得られる測度が非双曲的であるだけでなく、エルゴード的かつゼロエントロピーであることを確認している。