[論文レビュー] Fell-continuous selections and topologically well-orderable spaces II

Valentin Gutev|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ハウスドルフ空間 $X$ が位相的に良い順序付け可能であるための必要十分条件として、$\mathcal{F}_2(X)$ すなわちサイズが2以下の非空閉部分集合の空間に、フェルト位相で連続な選択肢が存在することを確立している。主な貢献は、以前の結果を精緻化し、全ハイパースペース $\mathcal{F}(X)$ ではなく $\mathcal{F}_2(X)$ に限定してフェルト連続選択肢が存在することこそ、位相的良い順序付け可能性の必要十分条件であることを示したことである。

ABSTRACT

The present paper improves a result of V. Gutev and T. Nogura (1999) showing that a space $X$ is topologically well-orderable if and only if there exists a selection for $\mathcal{F}_2(X)$ which is continuous with respect to the Fell topology on $\mathcal{F}_2(X)$. In particular, this implies that $\mathcal{F}(X)$ has a Fell-continuous selection if and only if $\mathcal{F}_2(X)$ has a Fell-continuous selection.

研究の動機と目的

• 位相的に良い順序付け可能な空間の特徴づけを、$\mathcal{F}(X)$ から $\mathcal{F}_2(X)$ に必要な選択領域を縮小することで精緻化すること。
• $\mathcal{F}_2(X)$ にフェルト連続選択肢が存在することは、$X$ の局所コンパクト性という重要な構造的性質を示すこと。
• $\alpha X$ である一点コンパクト化を用いて、$\mathcal{F}_2(X)$ における選択肢を $\mathcal{F}(X)$ 全体への選択肢へと拡張できることを示し、連続性を保つこと。
• $\alpha X$ が $\alpha$ を最大元とする同相な線形順序をもつことの証明により、位相的良い順序付けの構成が可能であることを示すこと。
• $\mathcal{F}(X)$ にフェルト連続選択肢が存在することと $\mathcal{F}_2(X)$ に存在することは同値であり、この二つの選択問題の根本的な同等性を確立すること。

提案手法

• 基本開集合 $\langle \mathcal{V} \rangle$ で定義される、$\mathcal{F}_2(X)$ に導入されたフェルト位相 $\tau_F$ の使用。ここで $X \setminus \bigcup \mathcal{V}$ がコンパクトである。
• $\mathcal{F}_2(X)$ に $\tau_F$-連続選択肢が存在するならば、$X$ は局所コンパクトでなければならないことを示すことで、問題を局所コンパクト空間に還元すること。
• 一点コンパクト化 $\alpha X$ における $\mathcal{F}_2(\alpha X)$ に $\tau_V$-連続選択肢を構成し、$f^{-1}(\alpha) = \{\{\alpha\}\}$ を満たすこと。
• ヴァン・ミルとワッテル [6] の結果を活用し、ある順序 $<$ に関して $\alpha X$ が線形順序位相空間であることを示すこと。
• $\alpha$ における減少する閉開基を用いて、新しい線形順序 $\prec$ を定義し、$\alpha$ が最大元であり、位相と整合するようにすること。
• 順序 $\prec$ が、任意の空でない閉部分集合が $\prec$-最小元をもつことを示すことにより、$X$ に位相的良い順序付けを誘導することを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルト連続選択肢による位相的に良い順序付け可能な空間の特徴づけを、$\mathcal{F}(X)$ から $\mathcal{F}_2(X)$ に縮小できるか。
• RQ2 $\mathcal{F}_2(X)$ に $\tau_F$-連続選択肢が存在することは、$X$ が局所コンパクトであることを示唆するか。
• RQ3 一点コンパクト化を用いて、$\mathcal{F}_2(X)$ に $\tau_F$-連続選択肢が存在する場合、$\mathcal{F}(X)$ 全体への選択肢に拡張可能か。
• RQ4 $\alpha$ が最大元であるような $\alpha X$ に同相な線形順序を定義可能か。その順序が $X$ に位相的良い順序付けを誘導するか。
• RQ5 $\mathcal{F}(X)$ に $\tau_F$-連続選択肢が存在することと $\mathcal{F}_2(X)$ に存在することは、どのような関係にあるか。

主な発見

• ハウスドルフ空間 $X$ が位相的に良い順序付け可能であることと、$\mathcal{F}_2(X)$ に $\tau_F$-連続選択肢が存在することは同値である。
• $\mathcal{F}_2(X)$ に $\tau_F$-連続選択肢が存在することは、$X$ が局所コンパクトであることを示唆する。
• 非コンパクトな $X$ が $\mathcal{F}_2(X)$ に $\tau_F$-連続選択肢をもつならば、その一点コンパクト化 $\alpha X$ は $\tau_V$-連続選択肢をもち、$f^{-1}(\alpha) = \{\{\alpha\}\}$ を満たす。
• $\alpha X$ は、$\alpha$ を最大元とする同相な線形順序 $\prec$ をもつ。この順序は、$\alpha$ における減少する閉開基を用いて構成される。
• $\alpha X$ 上の順序 $\prec$ は、$X$ に位相的良い順序付けを誘導する。これにより、$X$ が位相的に良い順序付け可能であることが確認される。
• よって、$\mathcal{F}(X)$ に $\tau_F$-連続選択肢が存在することは、$\mathcal{F}_2(X)$ に存在することと同値であり、二つの選択問題の根本的な同等性が確立される。