[論文レビュー] Feller evolution families and parabolic equations with form-bounded vector fields

Damir Kinzebulatov|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ d \geq 3 $ における $ (0,\infty) \times \mathbb{R}^d $ 上の放物型方程式 $ \partial_t u - \Delta u + b(t,x)\cdot\nabla u = 0 $ の弱解が、時間に依存するベクトル場 $ b $ が放物型形式有界クラス $ \mathbf{F}_{\beta,\mathcal{P}} $ に属する場合、Feller進化族を生成することを確立する。証明は $ L^p $-勾配の事前推定と反復的 $ L^p \to L^\infty $ 収束の議論に依拠し、解作用素が正性を保ち、$ L^\infty $-圧縮的であり、強く連続であることを示し、したがって漂流項に臨界的次数の特異性を許容するFeller過程を定める。

ABSTRACT

We show that the weak solutions of parabolic equation $\partial_t u - Δu + b(t,x) \cdot abla u=0$, $(t,x) \in (0,\infty) imes \mathbb R^d$, $d \geqslant 3$, for $b(t,x)$ in a wide class of time-dependent vector fields capturing critical order singularities, constitute a Feller evolution family and, thus, determine a Feller process. Our proof uses an a priori estimate on the $L^p$-norm of the gradient of solution in terms of the $L^q$-norm of the gradient of initial function, and an iterative procedure that moves the problem of convergence in $L^\infty$ to $L^p$.

研究の動機と目的

• 放物型方程式 $ \partial_t u - \Delta u + b(t,x)\cdot\nabla u = 0 $ の初期値問題に対して、$ d \geq 3 $ の条件下でFeller進化族の存在を確立すること。
• 時間に依存するベクトル場 $ b $ の広範なクラス、特に放物型形式有界クラス $ \mathbf{F}_{\beta,\mathcal{P}} $ を特徴づけ、解作用素がFeller進化族を形成することを示すこと。
• 解作用素が正性を保ち、$ L^\infty $-圧縮的であることを証明し、それにより関連する過程がFeller過程であることを保証すること。
• $ \frac{d}{p} + \frac{2}{q} \leq 1 $ を満たす $ L^q L^p $ クラスを越えて、$ |x|^{-2} $ や $ |t-t_0|^{-1} \log^{-1-\varepsilon} $ のような臨界的次数の特異性を許容する許容可能な漂流項のクラスを拡張すること。

提案手法

• 形式有界条件 $ \mathbf{BC} $ を用いて、初期データの勾配の $ L^p $-ノルムに関して、解の勾配の $ L^p $-ノルムに対する事前推定を導出する。
• $ L^\infty $-圧縮性を活用して、反復的手続きを用いて $ L^p $ から $ L^\infty $ への収束を転送する。
• 重み付きカットオフ関数 $ \theta_\delta $ とエネルギー型推定を用いて、コンパクト集合上での $ \nabla u_m $ の $ L^2 $-ノルムを制御し、$ L^2 $ における弱相対コンパクト性を保証する。
• 近似解 $ u_m $ の積分恒等式における極限に移行することで弱解の性質を確立し、$ b_m \to b $ の $ L^2_{\text{loc}} $ 収束と $ \nabla u_m $ の弱コンパクト性に依拠する。
• 鋭いStrichartz不等式とHardyの不等式を用いて、$ x|x|^{-2} $ のようなベクトル場が $ \mathbf{F}_{\beta,\mathcal{P}} $ に属することを確認し、明示的な $ \beta $ を得る。
• 最適化された $ \nu $ を用いた $ L^p $-エネルギー法により、式 (8) の重要な推定を証明し、勾配エネルギー項の係数が正であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するベクトル場 $ b $ が放物型形式有界クラス $ \mathbf{F}_{\beta,\mathcal{P}} $ に属する場合、放物型方程式 $ \partial_t u - \Delta u + b(t,x)\cdot\nabla u = 0 $ の解作用素がFeller進化族を形成できるか。
• RQ2 臨界的次数の特異性を含む、時間に依存するベクトル場 $ b $ の最大クラスは何か。そのようなクラスにおいて、関連するFeller過程が存在するか。
• RQ3 漂流項 $ b $ が古典的意味で有界または局所可積分でない場合、解の $ L^\infty $-ノルムをどのように制御できるか。
• RQ4 形式有界条件 $ \mathbf{BC} $ のパrameter $ \beta $ が解の存在性と正規性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 弱解が $ b \in \mathbf{F}_{\beta,\mathcal{P}} $ を満たす場合、$ C_\infty(\mathbb{R}^d) $ 上で強い連続性、正性保持、$ L^\infty $-圧縮性を満たすFeller進化族 $ (U(t,s)) $ を生成する。
• 解作用素 $ U(t,s) $ は $ C_\infty(\mathbb{R}^d) $ 上の有界線形作用素であり、$ (t,s) \mapsto U(t,s) $ は強く連続である。
• 解 $ u $ の勾配は $ L^2_{\text{loc}}((0,\infty) \times \mathbb{R}^d) $ に属し、局所的正則性と弱解構造を保証する。
• $ \mathbf{F}_{\beta,\mathcal{P}} $ のクラスには、$ |x|^{-2} $ 型特異性（例：$ x|x|^{-2} $）を含み、$ \beta = \left( \frac{2}{d-2} \right)^2 $ であり、$ \varepsilon > 0 $ の $ |t-t_0|^{-1} \log^{-1-\varepsilon} $ 特異性も含まれる。
• 証明により $ \|U(t,s)f\|_\infty \leq \|f\|_\infty $ かつ $ f \geq 0 $ ならば $ U(t,s)f \geq 0 $ であることが示され、Feller性が確認される。
• 反復的 $ L^p \to L^\infty $ 手法と $ L^p $-勾配推定を組み合わせることで、$ b $ に臨界的特異性がある場合でも解の $ L^\infty $ における制御が可能となる。