[論文レビュー] FEM-analysis on graded meshes for turning point problems exhibiting an interior layer

Simon Becher|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、内部転換点とくびれ型内部層を有する層状に摂動された2点境界値問題に対する層適応グレーディングメッシュを用いた有限要素解析を提示する。Liseikinのグレーディングメッシュ上での高次有限要素を用いて、エネルギーノルムにおける$\varepsilon$-一様誤差推定と、線形要素における最適$O(N^{-2})$収束を証明し、強い境界層および内部層を有する問題において、ロバストな数値的安定性と精度を確立する。

ABSTRACT

We consider singularly perturbed boundary value problems with a simple interior turning point whose solutions exhibit an interior layer. These problems are discretised using higher order finite elements on layer-adapted graded meshes proposed by Liseikin. We prove $ε$-uniform error estimates in the energy norm. Furthermore, for linear elements we are able to prove optimal order $ε$-uniform convergence in the $L^2$-norm on these graded meshes.

研究の動機と目的

• 層状に摂動された2点境界値問題に、単純な内部転換点とくびれ型内部層を有する場合の数値的課題に対処すること。
• 摂動パラメータ$\varepsilon$に依存しないロバストな収束を保証する、層適応グレーディングメッシュ上の有限要素法を構築・分析すること。
• 既存の結果を線形有限要素を超えて拡張し、グレーディングメッシュ上での高次有限要素に対する$\varepsilon$-一様収束を証明すること。
• これらのメッシュ上での線形有限要素に対する最適$L^2$-ノルム誤差推定を確立し、理論的収束率を確認すること。

提案手法

• Liseikinのメッシュ生成関数によって生成されるグレーディングメッシュ上に、高次ラグランジュ要素を用いた有限要素法（FEM）を採用する。このメッシュは内部層を解像するために設計されている。
• メッシュは、転換点$x_0 = 0$の周辺に密に集中するように変換$\varphi(\xi,\varepsilon)$を用いて構築され、層厚さに一致させるために$\alpha \leq \lambda$のグレーディングパラメータをとる。
• 誤差を測定し、$\varepsilon$-一様収束を証明するために、重み付きエネルギーノルム$|||\cdot|||_{\varepsilon} = \left(\varepsilon|\cdot|_1^2 + \|\cdot\|^2\right)^{1/2}$を用いる。
• 線形要素の場合、超接近性結果を導出し、後処理および補間誤差推定を用いて$L^2$-ノルムにおける最適$O(N^{-2})$収束を証明する。
• 主な技術的道具は、メッシュ依存の逆不等式、補間誤差推定、メッシュ比およびメッシュ関数の2階微分の境界である。
• 理論的分析は、等分配原理および主張に基づく層減衰変換に依存し、解の導関数およびメッシュグレーディングの制御を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Liseikinのグレーディングメッシュ上での高次有限要素は、内部転換点およびくびれ型層を有する層状に摂動された問題に対して$\varepsilon$-一様収束を達成できるか？
• RQ2 これらのグレーディングメッシュ上での線形有限要素の$L^2$-ノルムにおける最適収束率は何か？
• RQ3 メッシュグレーディングパラメータ$\alpha$と層パラメータ$\lambda$は収束挙動にどのように影響するか？
• RQ4 超接近性特性は、線形要素の$L^2$-ノルム誤差推定を最適化するために活用可能か？

主な発見

• Liseikinのグレーディングメッシュ上での高次要素を用いた有限要素法は、次数$k$の要素に対してエネルギーノルムにおける$O(N^{-k})$の$\varepsilon$-一様収束を達成する。
• 線形要素（$k=1$）の場合、$L^2$-ノルムにおける最適$\varepsilon$-一様収束が$O(N^{-2})$の速度で達成される。
• 誤差境界は摂動パラメータ$\varepsilon$に依存せず、$\varepsilon$が小さい場合のロバスト性を確認する。
• 解析により、メッシュグレーディングパラメータ$\alpha$が$\alpha \leq \lambda$を満たす必要があることが確認され、最適収束が維持される。
• 数値実験により理論的収束率が妥当であることが検証され、予測されたオーダーと一致する。
• 超接近性結果により、離散解と正確解の補間との関係を結びつけることで、最適$L^2$-ノルム誤差推定が導出可能である。