[論文レビュー] fenics-optim -- Convex optimization interface in FEniCS

Jérémy Bleyer|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2020

Embedded Systems Design Techniques被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、FEniCSにおける凸変分問題の定式化と解法を自動化するPythonパッケージ、fenics-optimを紹介する。凸計画法と有限要素離散化を活用することで、画像処理から計算力学に至る応用分野において、高精度かつスケーラブルな解法を実現する。ユーザーは数行のコードで複雑なPDE制約付き最適化問題を記述可能であり、Mosekの内点法ソルバを介して効率的な解法が可能となる。

ABSTRACT

<strong>fenics-optim</strong> is a Python library that aims at providing a simple user interface in FEniCS for solving convex optimization problems. In particular, it relies on the <strong>Mosek</strong> mathematical programming library. In particular, Mosek is a state-of-the art solver for linear programming (LP), convex quadratic programming (QP), second-order conic programming (SOCP) and semi-definite programming (SDP). The project can be accessed at https://gitlab.enpc.fr/navier-fenics/fenics-optim

研究の動機と目的

• 科学的計算、特に画像処理と計算力学における非滑らか項を含む凸変分問題の定式化と解法の課題に対処すること。
• 連続的な数学的最適化問題の定式化を模倣する包括的で高レベルのインターフェースを提供し、実装の複雑さを低減すること。
• 標準ラグランジュ、DG、H(div)/H(curl)要素を含む、さまざまな要素タイプの有限要素離散化を1つのフレームワーク内で自動化すること。
• Mosekを介して最新の内点法を用いて、特に非滑らか項を含む大規模凸問題を効率的に数値解法すること。
• FEniCSにおける記号的PDE定式化と現代の凸計画法の橋渡しをすること。滑らかおよび非滑らか凸汎関数の両方をサポートする。

提案手法

• FEniCSの統一形式言語（UFL）を用いて凸変分問題を定式化し、特に非滑らか項を含む凸関数を凸計画法フレームワーク内で表現する。
• FEniCSの有限要素機能を用いて問題を離散化し、混合および混合ハイブリッド定式化を可能にする混合有限要素空間をサポートする。
• Mosekを内点法ソルバとして採用し、特に複雑な制約や非滑らか項を含む問題に対して、多項式時間で高精度な解を得る。
• 変数と制約をブロックとして定義するブロック構造最適化フレームワークを導入し、モジュラーかつスケーラブルな問題構築を可能にする。
• 四角化に基づく関数空間（例：四角化要素）を用いて、ラグランジュ乗数や双対変数などの補助変数を、凸計画法における点ごとの表現で扱う。
• 関数ベースの制約定義により等式および不等式制約をサポートし、UFLおよびFEniCSの形式コンパイラーを用いて線形形式の自動アセンブリを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 画像処理や固体力学に生じる凸変分問題を、高レベルの有限要素フレームワークを用いて最小限のユーザーコードで定式化・解法可能か。
• RQ2 非滑らか凸項（例：全 Variation、L1ノルム）を、凸計画法を用いた有限要素文脈で効率的に表現・解法可能か。
• RQ3 FEniCSの有限要素機能とMosekの内点法ソルバを統合することで、大規模凸PDE制約付き問題の解法精度と効率性がどの程度向上するか。
• RQ4 混合有限要素を用いた複雑な多場変分問題をサポートするモジュラーかつブロック構造最適化インターフェースを設計可能か。
• RQ5 非滑らか目的関数を含む問題において、提案フレームワークは画像処理で一般的に用いられる一階法と比較して、性能および頑健性に優れているか。

主な発見

• fenics-optimパッケージにより、数行のPythonコードで複雑な凸変分問題を、連続的な数学的定式化に非常に近い形で定式化可能である。
• このフレームワークは、混合およびハイブリッド要素を含む広範な有限要素をサポートし、非滑らか項を含む問題の自動離散化を可能にする。
• Mosekの内点法を用いることで、多項式時間で高精度な解を得ることができ、解の精度において一階法を上回る。
• 非滑らか項の凸計画法への再定式化（例：障害物問題における回転二次錐）により、現代の凸計画ソルバを用いた効率的かつ安定した数値解法が可能となる。
• ブロック構造制約定式化により、スパarsityと行列アセンブリの自動処理を伴うモジュラーかつスケーラブルな問題構築が可能である。
• 四角化に基づく変数と凸制約を用いた障害物問題の明示的構築は、弱形式における点制約を正確かつ頑健に扱える能力を示しており、高精度で安定した解を得られる。