[論文レビュー] Fermat's Principle in Curved Space-time, No Emission from Schwarzschild Black Holes as Total Internal Reflection and Black Hole Unruh effect

Soma Mitra, Somenath Chakrabarty|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Relativity and Gravitational Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、シュバルツシルトブラックホールの近傍における光の伝播を、重力による屈折率の空間的変化から導かれる媒質における屈折としてモデル化するために、曲がった時空におけるフェルマーの原理を適用する。光が屈折率の高い領域から低い領域に脱出しようとする際に全内反射が発生し、その臨界角は30°であるため、事象の地平線から電磁放射が発生しないと提案する。また、一様に加速する観測者に対して、ウンル効果の古典的類似現象を提示する。

ABSTRACT

Using the Fermat's principle in curved space-time with stationary type metric, we have obtained the speed of light as a function of spatial coordinates and hence the corresponding refractive index. The whole region with space dependent gravity is divided into a number of overlapping transparent refracting media with varying refractive index. The refractive index is found to be increasing with the strength of gravitational field. Hence using the laws of refraction, we have explained the gravitational bending of light. Further using the conventional idea of total internal reflection of light while going from denser to rarer medium, in the present scenario it is the propagation of light from the region of ultra-strong gravitational field to relatively weaker gravitational field region, we have proposed an alternative approach for no emission of any kind of electromagnetic radiation from the surface of a classical Schwarzschild Black Hole. We have further noticed that for an observer in a uniformly accelerated frame, analogous to the Unruh radiation, there can be emission of electromagnetic waves from the event horizon of a classical black hole. This may be named as "black hole Unruh effect".

研究の動機と目的

• 曲がった時空におけるフェルマーの原理を用いて、重力による光の屈曲およびブラックホールの事象の地平線の挙動を再解釈すること。
• シュバルツシルトブラックホールからの電磁放射の欠如を、全内反射の古典的類似として説明すること。
• 一様に加速するフレームとブラックホール放射との関係を探索し、ウンル効果の古典的同等物を提案すること。
• 重力による時空の屈折率プロファイルを導出し、重力場の強さに応じて屈折率が増加することを示すこと。
• 等価原理と重力場における有効な光学的性質の出現との関係を確立すること。

提案手法

• 静的かつ球対称な時空におけるフェルマーの原理を、光学的経路積分 δ∫(g_rr^1/2/g₀₀^1/2)dr = 0 を用いて形式化する。
• シュバルツシルト計量から導かれる度合いの比として、有効屈折率 n(r) = g_rr^1/2/g₀₀^1/2 を定義する。
• 重力によって生じる屈折率の連続的変化を有する、重ね合わせられた屈折媒質としての時空をモデル化する。
• 事象の地平線における n(r) を用いて全内反射の条件を適用し、n(R_s) = 2 となる点で評価する。
• 等価原理を用いて一様に加速するフレームを局所的な重力場と関連づけ、リンドラー計量の近似に至る。
• 地平線近傍での光の速度 c_g(r) = c(1 − R_s/r) および屈折率 n(r) = 1/(1 − R_s/2r) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった時空におけるフェルマーの原理は、測地線を用いずに重力による光の屈曲を説明できるか？
• RQ2 なぜ古典的シュバルツシルトブラックホールは電磁放射を発しないのか？これは古典的光学で説明可能か？
• RQ3 事象の地平線における放射放出のための臨界角は何か？これは全内反射とどのように関係するか？
• RQ4 ブラックホールの事象の地平線に近い一様に加速する観測者は、電磁放射の放出を検出するだろうか？ウンル効果と比較するとどうなるか？
• RQ5 時空の屈折率は重力ポテンシャルにどのように依存するか？これは光の伝播を光学的媒体と同様にモデル化できるか？

主な発見

• 屈折率 n(r) は重力場の強さに応じて増加し、シュバルツシルト半径において n(R_s) = 2 に達する。
• 事象の地平線における全内反射の臨界角は θ_c = sin⁻¹(1/2) = 30° であり、放射の脱出は60°の立体角の窓に限られることを示唆する。
• 事象の地平線から発せられる光線は60°の垂直角を持つ円すい内に閉じ込められ、古典的モデルにおける放射の欠如を説明する。
• 一様に加速する観測者に対して、屈折率 n(r) = 1/(1 + αr/c²) が有限な c_g(r) を与え、地平線からの放射発生の可能性を示唆する。
• モデルはウンル効果の古典的類似を予測する：一様に加速する観測者は、有効な屈折特性のおかげでブラックホール地平線からの放射を検出する可能性がある。
• 屈折率は r = R_s/2 で発散するが、この領域は外部観測者と因果的に分離されているため、地平線の光学的性質は r ≈ R_s でのみ物理的に意味を持つ。