[論文レビュー] Fermi isospectrality for discrete periodic Schrodinger operators

Wencai Liu|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\bbZ^d$ 上の離散的周期的シュレーディンガー作用素（$d \geq 3$）に対して、剛性定理を確立する。Fermi等スペクトル性—固定エネルギーにおけるFermi多様体の等しさ—が、ポテンシャルに構造的制約をもたらすことを証明する。もしポテンシャル $V$ が分離可能なポテンシャル $Y$ とFermi等スペクトル性を共有するならば、$V$ もまた分離可能でなければならない。もし $V$ と $Y$ がともに分離可能ならば、それらの成分はFloquet等スペクトル性を示す。さらに、$V$ がゼロポテンシャルとFermi等スペクトル性を共有するならば、$V$ は恒等的にゼロでなければならない。これらの結果は、離散的設定における逆スペクトル問題を解決する。

ABSTRACT

Let $Γ=q_1\mathbb{Z}\oplus q_2 \mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus q_d\mathbb{Z}$, where $q_l\in \mathbb{Z}_+$, $l=1,2,\cdots,d$. Let $Δ+V$ be the discrete Schrödinger operator, where $Δ$ is the discrete Laplacian on $\mathbb{Z}^d$ and the potential $V:\mathbb{Z}^d o \mathbb{R}$ is $Γ$-periodic. We prove three rigidity theorems for discrete periodic Schrödinger operators in any dimension $d\geq 3$: (1) if at some energy level, Fermi varieties of the $Γ$-periodic potential $V$ and the $Γ$-periodic potential $Y$ are the same (this feature is referred to as {\it Fermi isospectrality} of $V$ and $Y$), and $Y $ is a separable function, then $V$ is separable; (2) if potentials $V$ and $Y$ are Fermi isospectral and both $V=\bigoplus_{j=1}^rV_j$ and $Y=\bigoplus_{j=1}^r Y_j$ are separable functions, then, up to a constant, lower dimensional decompositions $V_j$ and $Y_j$ are Floquet isospectral, $j=1,2,\cdots,r$; (3) if a potential $V$ and the zero potential are Fermi isospectral, then $V$ is zero. In particular, all conclusions in (1), (2) and (3) hold if we replace the assumption "Fermi isospectrality" with a stronger assumption "Floquet isospectrality".

研究の動機と目的

• 離散的周期的シュレーディンガー作用素の逆スペクトル問題を、$d \geq 3$ の次元でFermi等スペクトル性を用いて解明すること。
• Fermi等スペクトル性が、分離可能性や成分ごとのFloquet等スペクトル性といった構造的同値性をもたらすかどうかを特定すること。
• Fermi等スペクトル性がゼロポテンシャルと成立するならば、ポテンシャルが恒等的にゼロでなければならないことを証明すること。
• 連続的設定における既知の剛性結果を、特に分離可能および完全に分離可能なポテンシャルに対して離散的設定へと拡張すること。
• Floquet等スペクトル性がFermi等スペクトル性を含むこと、およびより強い条件が同じ剛性結論をもたらすことを確立すること。

提案手法

• 作用素 $H_0 = \Delta + V$ を $\ell^2(\bbZ^d)$ 上に定義し、$V$ を $\Gamma$-周期的とする。ここで $\Gamma = q_1\bbZ \oplus \cdots \oplus q_d\bbZ$ であり、$q_l \in \bbZ_+$ である。
• Floquet-Bloch分解を用いて、擬周期的境界条件を満たす作用素 $D_V(k)$ を定義し、Fermi多様体 $F_\lambda(V)$ を、$\lambda$ が $D_V(k)$ の固有値であるような $k \in \bbC^d$ の集合として定義する。
• Fermi等スペクトル性の概念を導入する：ある $\lambda_0 \in \bbC$ に対して $F_{\lambda_0}(V) = F_{\lambda_0}(Y)$ が成り立つこと。
• もし $V$ と $Y$ がFermi等スペクトル性を共有し、$Y$ が分離可能ならば、解析接続と特徴多項式の一意因数分解を用いて、$V$ もまた分離可能でなければならないことを証明する。
• 分離可能なポテンシャル $V = \bigoplus_{j=1}^r V_j$、$Y = \bigoplus_{j=1}^r Y_j$ に対して、Fermi等スペクトル性が、各ペア $(V_j, Y_j)$ がFloquet等スペクトル性を示すことを、固有値分岐の漸近的解析と特徴多項式における係数比較により示す。
• 特徴多項式 $\tilde{\mathcal{P}}_V(z,\lambda)$ における係数比較を用いて、$V$ がゼロポテンシャルとFermi等スペクトル性を共有するならば、$V$ のすべてのフーリエ係数が消えること、したがって $V \equiv 0$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Gamma$-周期的ポテンシャル $V$ と $Y$ がFermi等スペクトル性を共有し、$Y$ が分離可能であるならば、$V$ も分離可能でなければならないか？
• RQ2 もし $V$ と $Y$ がともに分離可能で、Fermi等スペクトル性を共有するならば、それらの低次元成分 $V_j$ と $Y_j$ はFloquet等スペクトル性を示すか？
• RQ3 ポテンシャル $V$ がゼロポテンシャルとFermi等スペクトル性を共有するならば、$V$ は恒等的にゼロでなければならないか？
• RQ4 Fermi等スペクトル性は、離散的周期的シュレーディンガー作用素設定において、Floquet等スペクトル性と同一の構造的制約をもたらすか？
• RQ5 Fermlet等スペクトル性よりも弱い仮定のもとで、離散的ケースにおける剛性結果を確立できるか？

主な発見

• もし $V$ と $Y$ がFermi等スペクトル性を共有し、$Y$ が分離可能ならば、$V$ も分離可能でなければならない。このとき $V$ が事前に分離可能であると仮定する必要はない。
• もし $V = \bigoplus_{j=1}^r V_j$ と $Y = \bigoplus_{j=1}^r Y_j$ がともに分離可能であり、Fermi等スペクトル性を共有するならば、各 $j$ に対して、$V_j$ と $Y_j$ は定数項のずれを除いてFloquet等スペクトル性を示す。
• もし $V$ がゼロポテンシャルとFermi等スペクトル性を共有するならば、$V \equiv 0$ である。これは離散的設定における強い剛性結果を示している。
• これらの結果は、より弱い仮定であるFermi等スペクトル性のもとでも成り立ち、より強い条件であるFloquet等スペクトル性を仮定しても同じ結論が得られる。
• 証明は、$|z_d| \to \infty$ のときの固有値分岐 $\lambda^l(z_d)$ の漸近的解析に依拠しており、その主要項の振る舞いがポテンシャルの構造を決定することを示している。
• 特徴多項式 $\tilde{\mathcal{P}}_V(z,\lambda)$ における係数比較—特に $\lambda^{Q_1-1}$ および $\lambda^{Q_1-2}$ の係数—により、$V$ がゼロポテンシャルとFermi等スペクトル性を共有するならば、$V \equiv 0$ であることが導かれる。