[論文レビュー] Fermion doubling problem and noncommutative geometry II

A. P. Balachandran, T. R. Govindarajan+1 more|ArXiv.org|Jun 28, 2000

Advanced Operator Algebra Research被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学を用いて、ファイバーダブルイング問題を、ファジー球面とその積を介して解決する。この枠組みにおいて、ギンザルグ＝ウィルソン関係式が自然に出現することを示しており、ファジー空間上のディラック作用素が、カイラル対称性と異常構造を保存することを示している。これにより、フェルミオンダブルイングを伴わずに、カイラルゲージ理論の有限次元行列モデルが得られる。

ABSTRACT

In our previous paper (hep-th/9911087), we proposed a resolution for the fermion doubling problem in discrete field theories based on the fuzzy sphere and its cartesian products. In this paper after a review of that work, we bring out its relationship to the Ginsparg-Wilson approach.

研究の動機と目的

• 離散的場理論におけるフェルミオンダブルイング問題を、カイラル対称性を保存したまま解消すること。
• ファジー球面アプローチとギンザルグ＝ウィルソン代数的フレームワークとの間の関係を確立すること。
• 非可換幾何的定式化を、$S^2 \otimes S^2$ や $\mathbb{C}P^2$ などの高次元多様体へと拡張すること。
• コンパクトなリー群の随伴軌道の量子化された空間上での量子場の有限次元行列モデルを構築すること。
• カイラル異常と位相的特徴が、ファジー幾何学フレームワーク内で一貫して実現されることを示すこと。

提案手法

• 非可換座標 $x_i$ を満たす $SU(2)$-共変な行列代数を用いて、ファジー球面 $S_F^2$ を構成する。ここで $[x_i, x_j] = i \epsilon_{ijk} x_k / \sqrt{l(l+1)}$ である。
• ファジー $S^2$ 上に、$\vec{\cal L}$ を軌道的角運動量演算子として、ディラック作用素 $D_1 = \vec{\sigma} \cdot \vec{\cal L} + \mathbf{1}$ および $D_2 = \epsilon_{ijk} \sigma_i \hat{n}_j {\cal J}_k$ を定義する。
• 両方の作用素と反交換するチラリティ作用素 $\Gamma = \vec{\sigma} \cdot \hat{n}$ を導入し、離散的設定でもカイラル対称性が保たれることを保証する。
• $\vec{J} = \vec{\cal L} + \vec{\sigma}/2$ を用いて $D_1$ を対角化し、その固有値が $j \in \{1/2, 3/2, \dots, 2l - 1/2\}$ のとき $\{ \pm(j + 1/2) \}$ であり、追加の $+(2l + 1/2)$ 状態があることを示す。
• $D_1$ と $D_2$ が連続極限でユニタリ同値であり、回転対称性から $|D_1| = |D_2|$ であることを示す。
• 離散的ディラック作用素 $D'_1$ が $aD'_1 = 2(\Gamma_1^2 + \Gamma_1\Gamma_2)$ を満たすことを示し、これによりギンザルグ＝ウィルソン関係式との関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学を用いて、カイラル対称性を破らずに、格子場理論におけるフェルミオンダブルイング問題を解消できるか？
• RQ2 ファジー球面構成は、カイラルフェルミオンのギンザルグ＝ウィルソン代数的アプローチとどのように関係するか？
• RQ3 ファジー $S^2$ および $S^2 \otimes S^2$ 上のディラック作用素の固有値とチラリティ構造は何か？
• RQ4 この枠組み内で、行列代数の射影子を用いて、ファジー磁単極子およびインスタントンを一貫して構成できるか？
• RQ5 非可換幾何学的アプローチは、有限次元モデルにおいてカイラル異常と位相的不変量を保存するか？

主な発見

• ファジー球面上のディラック作用素 $D_1 = \vec{\sigma} \cdot \vec{\cal L} + \mathbf{1}$ の固有値は、$j = 1/2, 3/2, \dots, 2l - 1/2$ のとき $\{ \pm(j + 1/2) \}$ であり、追加の固有値 $+(2l + 1/2)$ が存在する。
• チラリティ作用素 $\Gamma = \vec{\sigma} \cdot \hat{n}$ は $D_1$ および $D_2$ と反交換するため、離散的設定でもカイラル対称性が保たれる。
• $D_1$ と $D_2$ は連続極限でユニタリ同値であり、$|D_1| = |D_2|$ であり、さらに $\Gamma = i \frac{D_1}{|D_1|} \frac{D_2}{|D_2|}$ を満たす。
• ギンザルグ＝ウィルソン作用素 $D'_1$ の各角運動量部分空間 $V_j$ における固有値は $1 + \exp(\pm 2i\theta_j)$ であり、中心が1で半径1の円上に位置する。
• 最大の全角運動量部分空間 $W$（$j = 2l + 1/2$）では $D_2$ が消え、$|D_1|$ が最大値に達するため、この領域ではチラリティが破綻することが示唆される。
• ファジー磁単極子（磁荷 $\pm N$）は、$A^{2^N}$ 上に作用する射影子 $p^{(\pm N)}$ を用いて構成され、最高または最低の $SU(2)$ 表現に射影する。ここで $\vec{K} = \vec{L}^L + \sum_i \vec{\tau}^{(i)}/2$ が全角運動量代数を生成する。