[論文レビュー] Fermionic basis for space of operators in the XXZ model

H. Boos, M. Jimbo+3 more|ArXiv.org|Feb 12, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、q=iにおける無限大のXXZスピン鎖における準局所的演算子の空間に対してフェルミオン基底を構成し、生成関数b(ζ), c(ζ)の残差として得られる反可換演算子bₖ, cₖが、自由フェルミオンにおける立方単項式として作用することを示している。この基底の存在は、グラスマン関係、対称群の不変性、および還元性の性質から導かれることが証明されており、相関関数の代数的構造が簡略化可能である。

ABSTRACT

In the recent study of correlation functions for the infinite XXZ spin chain, a new pair of anti-commuting operators $b(z), c(z)$ was introduced. They act on the space of quasi-local operators, which are local operators multiplied by the disorder operator. For the inhomogeneous chain with the spectral parameters $ξ_{k}$, these operators have simple poles at $z^2=ξ_{k}^2$. The residues are denoted by $b_{k}, c_{k}$. At $q=i$, we show that the operators $b_{k}, c_{k}$ are cubic monomials in free fermions. In other words, the action of these operators is very simple in the fermion basis. We give an explicit construction of these fermions. Then, we show that the existence of the fermionic basis is a consequence of the Grassmann relation, the equivariance with respect to the action of the symmetric group and the reduction property, which are all valid for the operators $b_{k}, c_{k}$ in the case of generic $q$.

研究の動機と目的

• 無限大のXXZスピン鎖における準局所的演算子の空間にフェルミオン基底を構成すること。
• これらの演算子に作用する反可換演算子b(ζ), c(ζ)の代数的構造を理解すること。
• q=iにおいて、演算子bₖ, cₖが自由フェルミオンにおける立方単項式として作用することを示すこと。
• フェルミオン基底の存在が、グラスマン関係、対称群の不変性、および還元性という3つの基本的性質から生じることを証明すること。
• 基礎となる自由フェルミオンの明示的構成を行い、それらをモノドロミー行列のトレースおよびq-振動子表現に関連付けること。

提案手法

• 演算子b(ζ), c(ζ)は、非一様鎖においてζ² = ξₖ²に単純極を持つ生成関数として定義され、その残差がbₖ, cₖである。
• 構成は、q-振動子表現W±およびC²補助空間を含むモノドロミー行列の非対角成分のトレースを用いる。
• ζ=1近傍における展開の特異部を分離することで、三角化の選択に依存しないことが保証される。
• フェルミオン表現は、L行列の作用を用いて、自由フェルミオンψ⁺, ψ⁻を用いて演算子表現を書き直すことで導出される。
• 鍵となるステップは、共役されたモノドロミー行列のトレースをフェルミオン演算子の線形結合として表現し、フェルミオン双一次形式と残りの演算子の積に因数分解することである。
• 証明は、グラスマン関係、対称群による不変性、および還元性の性質に依拠し、フェルミオン基底構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XXZモデルにおける準局所的演算子の空間に、q=iでフェルミオン基底を導入できるか？
• RQ2 反可換演算子bₖ, cₖは、自由フェルミオンにおける立方単項式として作用するか？
• RQ3 フェルミオン基底の存在は、グラスマン関係、対称群の不変性、および還元性の性質の結果であるか？
• RQ4 演算子bₖ, cₖはモノドロミー行列およびq-振動子表現とどのように関係しているか？
• RQ5 フェルミオン基底における演算子作用を実現する自由フェルミオンの明示的形は何か？

主な発見

• q=iにおいて、演算子bₖおよびcₖが自由フェルミオンにおける立方単項式として作用することが示され、フェルミオン基底における作用が簡略化される。
• フェルミオン基底の存在は、グラスマン関係、対称群の不変性、および還元性の性質に起因しており、これらは一般のqに対して成り立つ。
• 自由フェルミオンの明示的構成は、変換ιを用いてトレース式をフェルミオン演算子ψ⁺, ψ⁻の形に書き直すことで達成される。
• ζ=ξₖにおけるb(ζ)の留数は、res_{ζ=ξₖ} b(ζ) dζ/ζ = -½ Ŷ⁺ₖ · U⁺ₖ(α)(1−N⁺ₖ(α)) · i^{±S+1}ξₖ^{±(α−S)−1} で与えられ、N⁺ₖ = χ⁻ₖχ⁎⁺ₖである。
• 演算子Q⁺(ζ,α)はモノドロミー行列のトレースに関連し、変換ιを用いることで、フェルミオン双一次形式と残りの演算子に因数分解される構造が示された。
• 最終的な結果として、bₖ, cₖが準局所的演算子の空間に与える作用が、フェルミオン基底において完全に対角化され、相関関数の効率的計算が可能であることが確認された。