[論文レビュー] Fermionic Hamiltonians for quantum simulations: a general reduction scheme

Panagiotis Kl. Barkoutsos, Nikolaj Moll+6 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Quantum and electron transport phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、結合定数の分散を最小限に抑えるように、k-局所的フェルミオンハミルトニアンを2-局所的キュービットハミルトニアンに低ランク最適化（LRO）スキームで低減する数値最適化手法を導入する。摂動的ギャジェット手法とは異なり、指数関数的に変化する結合定数を必要とせず、結合定数の分散を10^8倍まで低減（約10^8から40未塔）することで、現在のアナログ量子ハードウェアで高い忠実度で元のスペクトルおよび密度行列を実装可能にする。

ABSTRACT

Many-body fermionic quantum calculations performed on analog quantum computers are restricted by the presence of k-local terms, which represent interactions among more than two qubits. These originate from the fermion-to-qubit mapping applied to the electronic Hamiltonians. Current solutions to this problem rely on perturbation theory in an enlarged Hilbert space. The main challenge associated with this technique is that it relies on coupling constants with very different magnitudes. This prevents its implementation in currently available architectures. In order to resolve this issue, we present an optimization scheme that unfolds the k-local terms into a linear combination of 2-local terms, while ensuring the conservation of all relevant physical properties of the original Hamiltonian, with several orders of magnitude smaller variation of the coupling constants.

研究の動機と目的

• 現在のアナログ量子シミュレータでk-局所的項を実装する課題に対処すること。これには、多くのオーダーにわたる結合定数のスケールが必要となる。
• 摂動的ハミルトニアンギャジェット（PHG）の制限を克服すること。PHGは結合強度の指数的増大に起因する分散が大きいため、実際のデバイスでは実用的でない。
• 元のハミルトニアンの物理的スペクトルおよび密度行列を還元過程で保持する数値最適化スキームを開発すること。
• 結合定数の範囲を狭く、実験的に達成可能な範囲内に保つことで、電子構造問題の実用的量子シミュレーションを可能にすること。

提案手法

• アンシラキュービットを用いてヒルベルト空間を拡大することで、k-局所的項を1つずつ(k-1)-局所的項に段階的に還元する。
• 低ランク最適化（LRO）手順により、最も関連性の高い(k-1)-局所的項を選別し、コスト関数を最小化しながらその係数を最適化する。
• 還元密度行列と目的の物理状態との差を最小化する制約付き数値的手法を用いて最適化を実行する。
• 変換されたハミルトニアンの固有スペクトルおよび還元密度行列が、元のk-局所的ハミルトニアンと密接に一致することを保証する。
• 3-局所的項から出発し、段階的にH_p ⊗ H_aという拡大されたヒルベルト空間内で2-局所的項に還元する。
• PHGとは異なり、広範な摂動的展開に依存せず、主要な項の集合に焦点を当てることで、結合定数の分散の指数的スケーリングを回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-局所的フェルミオンハミルトニアンを、多くのオーダーにわたる結合定数を必要としない2-局所的形に還元できるか？
• RQ2 k-局所的から2-局所的へ還元する過程で、元のハミルトニアンの物理的スペクトルおよび密度行列をどのように保持できるか？
• RQ3 還元密度行列の目標精度を維持するためには、結合係数の数値的精度がどの程度必要か？
• RQ4 数値最適化スキームは、結合定数の分散および物理的忠実度の観点で、摂動的ギャジェット手法を上回れるか？
• RQ5 結合パrameterの小さな変動に対して最適化解は安定か？実験的実装に必要な精度はどの程度か？

主な発見

• LRO手法により、結合定数の分散がPHGの約10^8から40未満にまで低減され、現在の量子ハードウェアでの実装可能性が著しく向上した。
• LRO-9アプローチは、参照の3-局所的ハミルトニアンと比較して、還元密度行列における最大誤差が10^-6未塔を記録した。
• 最適化済み結合パrameter d_i に1%の変動を与えると、密度行列に約10%の誤差が生じ、高い感度を示した。
• 密度行列の精度を10^-6に保つためには、結合強度d_iの精度を10^-4%まで高める必要があり、これは数値的には可能だが実験的には挑戦的である。
• LROスキームは、すべての還元ステップにおいて、固有スペクトルおよび密度行列といった物理的性質を完全に制御可能である。
• PHGとは異なり、必要な精度に伴い結合定数の分散が指数関数的に増大しないことが示され、近い将来のアナログ量子シミュレータに適している。