[論文レビュー] Fermionic Linear Optics and Matchgates

Emanuel Knill|ArXiv.org|Aug 7, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 72

ひとこと要約

この論文は、実現可能な状態の集合が低次元のリー群の閉包をなすため、フェルミオンの線形光学と粒子測定が、効率的に古典的にシミュレート可能であることを示している。2キュービットのマッチゲートとヴァリアントのシミュレータブルなマッチシーケンスが、拡張フェルミオン線形光学作用素の閉包に同型なモノイドを生成することを確立し、これらの量子モデルの古典的シミュレータビリティをリー群構造によって説明している。

ABSTRACT

Fermionic linear optics is efficiently classically simulatable. Here it is shown that the set of states achievable with fermionic linear optics and particle measurements is the closure of a low dimensional Lie group. The weakness of fermionic linear optics and measurements can therefore be explained and contrasted with the strength of bosonic linear optics with particle measurements. An analysis of fermionic linear optics is used to show that the two-qubit matchgates and the simulatable matchcircuits introduced by Valiant generate a monoid of extended fermionic linear optics operators. A useful interpretation of efficient classical simulations such as this one is as a simulation of a model of non-deterministic quantum computation. Problem areas for future investigations are suggested.

研究の動機と目的

• フェルミオンの線形光学と粒子測定がなぜ効率的に古典的にシミュレート可能であるかを説明し、ボソンの線形光学と比較して、その普遍性の欠如を示すこと。
• 2キュービットのマッチゲートとヴァリアントのシミュレータブルなマッチシーケンスが、拡張フェルミオン線形光学作用素の閉包に同型なモノイドを生成することを示すこと。
• フェルミオンと測定を伴う非ユニタリな量子計算の古典的シミュレータビリティを、群論的解釈によって説明すること。
• フェルミオンの線形光学と粒子検出によって到達可能な状態の集合の背後にある数学的構造——特にリー代数とその関連群——を特定すること。
• Lie群の表現と量子作用素のモノイドのシミュレーションに関する未解決問題を提起すること、特に複雑性と自然な生成子集合の観点から。

提案手法

• 論文は、パウリ作用素とその積の線形空間を保存する可逆行列としてフェルミオン線形光学作用素を定義し、リー群 ${\cal G}_1$ を形成する。
• これを ${\cal G}_2$ に拡張し、2つの作用素の積の空間を保存するものとし、次元 $2n^2 + n + 1$ のリー代数を形成する。
• ジョルダン＝ヴァイナー変換を用いて、拡張フェルミオン作用素をリー代数 $\mathfrak{so}_{2n+1}(\mathbb{C})$ に写像し、効率的な行列表現を可能にする。
• 任意の群内行列が $O(n^2)$ 個の基本的回転 $e^{its_{kl}}$ に分解可能であり、それらが共役作用とガウスの消去法を用いて $O(n^3)$ 個の許容されるマッチゲート型作用素の積に表現可能であることを示している。
• 群の要素を $A^T A = I$ を満たす直交行列として表現することで、行列積とトレースの効率的計算が可能となり、シミュレーションが達成される。
• マッチシーケンスへの接続は、マッチゲートモノイドが ${\cal G}_2$ の閉包において稠密であることを示すことによって確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜフェルミオンの線形光学と粒子測定は、ボソンの線形光学と同様の資源を用いても量子計算の普遍性を持たないにもかかわらず、効率的に古典的にシミュレート可能なのか？
• RQ2 フェルミオンの線形光学と粒子測定によって到達可能な状態の集合の数学的構造は何か？
• RQ3 ヴァリアントの2キュービットマッチゲートとシミュレータブルなマッチシーケンスは、拡張フェルミオン線形光学作用素の群とどのように関係しているか？
• RQ4 非ユニタリな量子過程の古典的シミュレータビリティは、リー群の閉包によって説明可能か？
• RQ5 単純な複素リー群の表現をシミュレートする際の複雑性クラスは何か？これは生成子の選択に依存するか？

主な発見

• フェルミオンの線形光学と粒子測定によって到達可能な状態の集合は、低次元のリー群の閉包であり、これにより古典的シミュレータビリティが説明される。
• 2キュービットのマッチゲートは、拡張フェルミオン線形光学群 ${\cal G}_2$ の閉包において稠密なモノイドを生成する。
• 拡張作用素のリー代数 ${\cal L}_2$ の次元は $2n^2 + n + 1$ であり、ジョルダン＝ヴァイナー写像により、その関連群 ${\cal G}_2$ は $\mathfrak{so}_{2n+1}(\mathbb{C})$ に同型である。
• ${\cal G}_2$ 内の任意の作用素は $O(n^3)$ 個の基本的マッチゲート型操作に分解可能であり、これにより効率的な古典的シミュレーションが可能になる。
• ヴァリアントのマッチシーケンスのシミュレーションは、拡張フェルミオン線形光学のシミュレーションと同程度の一般性を持ち、両者とも同じ背後にあるリー群構造によって支配されている。
• 本論文は、このようなモデルの古典的シミュレータビリティが、関連作用素が普遍でない群の閉包に属するという事実に起因していると示唆している。