[論文レビュー] Fermionic Matrix Product Operators and Topological Phases of Matter

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、フェルミオン的統計を組み込んだ行列積作用素代数の拡張として、フェルミオン的行列積作用素（fMPO）を導入し、2次元フェルミオン的トポロジカル秩序および対称性保護型トポロジカル（SPT）秩序の分類フレームワークを提示する。著者らは、フェルミオン的統計を含むMPO代数の拡張により、fMPOが自然にフェルミオン的融合テンソルカテゴリを実現し、$H^1(G,\mathbb{Z}_2)$、$H^2(G,\mathbb{Z}_2)$、$ar{H}^3(G,U(1))$ の3つのコhomology群を用いてSPT秩序を分類することを示した。これにより、フェルミオン的ストリングネット状態のテンソルネットワーク実現が可能となり、フェルミオン的トポロジカル秩序の基礎が確立される。

ABSTRACT

We introduce the concept of fermionic matrix product operators, and show that they provide a natural representation of fermionic fusion tensor categories. This allows for the classification of two dimensional fermionic topological phases in terms of matrix product operator algebras. Using this approach we give a classification of fermionic symmetry protected topological phases with respect to a group $G$ in terms of three cohomology groups: $H^1(G,\mathbb{Z}_2)$, describing which matrix product operators are of Majorana type, $H^2(G,\mathbb{Z}_2)$, describing the fermionic nature of the fusion tensors that arise when two matrix product operators are multiplied, and the supercohomolgy group $\bar{H}^3(G,U(1))$ which corresponds to the associator that changes the order of fusion. We also generalize the tensor network description of the string-net ground states to the fermionic setting, yielding simple representations of a class that includes the fermionic toric code.

研究の動機と目的

• フェルミオン的統計を満たす行列積作用素（MPO）を用いた、フェルミオン的トポロジカル秩序の分類フレームワークの構築。
• フェルミオン的統計を考慮した$f\mathbb{Z}_2$-graded構造を有するフェルミオン的MPO（fMPO）を導入し、フェルミオン系へのテンソルネットワーク形式の拡張。
• マヨラナ粒子の性質、融合統計、結合則を捉えるコhomology群を用いて、フェルミオン的対称性保護型トポロジカル（SPT）秩序の分類。
• fMPOを用いてストリングネット構成をフェルミオン系に一般化し、トポロジカル秩序におけるその役割の確立。
• 固定点モデルを超えたフェルミオン的トポロジカル秩序および相転移の研究の基盤を構築。

提案手法

• フェルミオン的統計を考慮した$\mathbb{Z}_2$-graded構造を持つフェルミオン的行列積作用素（fMPO）を導入し、フェルミオン的Anyonやトポロジカル秩序のモデル化。
• fMPOの局所的融合則と結合子を定義し、一貫性のためにフェルミオン的五角形方程式を満たす必要があることを示す。
• fMPOを用いたフェルミオン的ストリングネット状態のテンソルネットワーク表現を構築し、ボソン的PEPS形式を一般化。
• fMPO代数のゲージ同値性およびMorita同値性を用いて、スーパー選択セクターおよびトポロジカル秩序の分類。
• fMPOの代数が対称性群$G$に関連するものであることを分析し、3つのコhomology群によるSPT秩序の分類に至る。
• フェルミオン的統計を考慮した「引き抜き」方程式に注意を払い、fMPOが異なる境界条件のもとでテンソルネットワーク内を移動可能であることを保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル統計およびマヨラナ零モードを有するフェルミオン的トポロジカル秩序を記述するため、行列積作用素をどのように一般化できるか？
• RQ2 2次元系におけるフェルミオン的励起の融合および braiding の背後にある代数的構造は何か？ そして、fMPOはその構造をどのように捉えるか？
• RQ3 局所的ユニタリ対称性を持つフェルミオン的SPT秩序が、$H^1(G,\mathbb{Z}_2)$、$H^2(G,\mathbb{Z}_2)$、$ar{H}^3(G,U(1))$ のコhomology群によってどのように分類されるか？
• RQ4 fMPOを用いてストリングネット構成をフェルミオン系にどのように拡張できるか？ また、フェルミオン的スワップ則の役割は何か？
• RQ5 フェルミオン的PEPSにおけるfMPOの正しい「引き抜き」条件は何か？ そして、それらは対称性変換下でのトポロジカル不変性をどのように保証するか？

主な発見

• 局所的ユニタリ対称性群$G$を持つフェルミオン的SPT秩序の分類は、3つのコhomology群$H^1(G,\mathbb{Z}_2)$、$H^2(G,\mathbb{Z}_2)$、$ar{H}^3(G,U(1))$ によって与えられ、それぞれマヨラナ型作用素、フェルミオン的融合、結合則制約に対応する。
• フェルミオン的MPOは、フェルミオン的融合テンソルカテゴリの構造を実現する$\mathbb{Z}_2$-graded代数を形成し、フェルミオン系におけるAnyon統計の記述を可能にする。
• fMPO形式により、フェルミオン的ストリングネット基底状態のテンソルネットワーク構成が可能となり、ボソン的PEPS形式がフェルミオン的統計を含む形に一般化される。
• fMPOの融合の一貫性は、フェルミオン的五角形方程式によって支配され、ゲージ同値性の下で結合則が保証される。
• 本フレームワークにより、フェルミオン的PEPSにおけるfMPO仮想対称性には、スピン構造および境界条件依存性に起因する追加の「引き抜き」条件が必要であることが明らかになった。これはボソン的系には見られない微妙な点である。
• 本研究の結果は、後続の研究（Bultinckら、2017b）によって上書きされ、fPEPSにおけるfMPO対称性および「引き抜き」方程式の完全な取り扱いが提供されている。