[論文レビュー] Fermionic representation for basic hypergeometric functions related to Schur polynomials

A. Yu. Orlov, D. M. Scherbin|ArXiv.org|Jan 6, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、シュール多項式に関連する基本超幾何関数のフェルミオン的表現を確立し、KPおよびトーダ格子（TL）階層のタウ関数であることを示している。行列式および積分表現が導出され、ミルンの結果が一般化されており、これらの関数が円周上の$Ψ$微分作用素の群2-コサイクルとして特定され、ミウァ変換および高次時間変数を通じて$q$-直交多項式と明示的な関係を持つ。

ABSTRACT

We present the fermionic representation for the q-deformed hypergeometric functions related to Schur polynomials considered by S.Milne \cite{Milne}. For $q=1$ these functions are also known as hypergeometric functions of matrix argument which are related to zonal spherical polynomials for $GL(N,C)/U(N)$ symmetric space. We show that these multivariable hypergeometric functions are tau-functions of the KP hierarchy. At the same time they are the ratios of Toda lattice tau-functions considered by Takasaki in \cite{Tinit}, \cite{T} evaluated at certain values of higher Toda lattice times. The variables of the hypergeometric functions are related to the higher times of those hierarchies via Miwa change of variables. The discrete Toda lattice variable shifts parameters of hypergeometric functions. Hypergeometric functions of type ${}_pF_s$ can be also viewed as group 2-cocycle for the $Ψ$DO on the circle of the order $p-s \leq 1$ (the group times are higher times of TL hierarchy and the arguments of hypergeometric function). We get the determinant representation and the integral representation of special type of KP tau-functions, these results generalize some of Milne's results in \cite{Milne}. We write down a system of linear differential and difference equations for these tau-functions (string equations). We present also fermionic representation for special type of Gelfand-Graev hypergeometric functions.

研究の動機と目的

• シュール多項式に関連する基本超幾何関数のフェルミオン的フォック空間表現を確立すること。
• これらの多変数超幾何関数がKP階層のタウ関数であり、特定の高次時間値におけるトーダ格子タウ関数の比であることを示すこと。
• ミルンの超幾何関数に関する結果を一般化し、行列式および積分表現を導出すること。
• これらの超幾何関数が円周上の$Ψ$微分作用素の群2-コサイクルであることを同定し、高次時間を群のパラメータとして位置づけること。
• 特に$q$-Hahn、$q$-Racah、およびリトル$q$-Jacobi多項式などの特殊$q$-直交多項式の明示的フェルミオン実現を提供すること。

提案手法

• フェルミオン的フォック空間形式を用い、頂点作用素および双線形恒等式を用いてKPおよびトーダ格子タウ関数を構成する。
• ミウァの変数変換を適用し、超幾何関数の変数をKPおよびTL階層の高次時間に結びつける。
• ボソン化則およびフェルミオン状態への頂点作用素の作用を用いて行列式表現を導出する。
• ベイカー＝アキエツァー関数およびサトウのグラスマン多様体フレームワークを用いて積分表現を構成する。
• トーダ格子設定における特定の$r(D)$作用素を通じて、超幾何関数と$q$-直交多項式の関係を確立する。
• ガウス因数分解問題および追加の対称性を用いて、ストリング方程式およびコサイクル構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュール多項式に関連する基本超幾何関数は、どのようにフェルミオン的フォック空間状態として表現できるか？
• RQ2 これらの超幾何関数とKPおよびトーダ格子階層のタウ関数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 これらの超幾何関数に対して行列式および積分表現を導出できるか。ミルンの結果を一般化できるか？
• RQ4 これらの関数はどのようにして円周上の$Ψ$微分作用素の群2-コサイクルとして現れるのか。高次時間はこの文脈で果たす役割は何か？
• RQ5 $q$-Hahnおよび$q$-Racah多項式などの特殊$q$-直交多項式のフェルミオン的実現は何か？

主な発見

• 超幾何関数${}_{p}\tau_{s}^{(q)}$がKP階層のタウ関数であり、特定の高次時間値におけるトーダ格子タウ関数の比であることが示された。
• $\tau_{r}(M,{\bf t},\beta)$のKPタウ関数に対する行列式表現が導出され、ミルンの結果が一般化された。
• ベイカー＝アキエツァー関数および双線形恒等式を用いて、特別なタイプのKPタウ関数の積分表現が構成された。
• 超幾何関数が円周上の$Ψ$微分作用素の群2-コサイクルとして特定され、高次時刻が群のパラメータであり、超幾何関数の引数がパラメータとして位置づけられた。
• トーダ格子設定における特定の$r(D)$作用素を用いて、$q$-Hahn、$q$-Racah、およびリトル$q$-Jacobi多項式のフェルミオン的表現が明示的に構成された。
• タウ関数に対して線形微分方程式および差分方程式（ストリング方程式）の系が導出され、ガウス超幾何方程式が一般化された。