[論文レビュー] Fermionic scalar field

Yoshiharu Kawamura|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反交換関係を用いて量子化された複素スカラーフィールド（いわゆる「フェルミオン的スカラーフィールド」）を検討することでスピン統計の定理を再考する。この理論では、正エネルギーと因果律を保ちながらも、負ノルム状態が出現する。問題は、フェルミオン的対称性をもつ二重スカラーフィールドを導入することで解決され、整合的だが空な理論が得られる。同様のメカニズムは、交換関係を用いて量子化されたスピノル場に対しても適用可能であり、負ノルム状態が、エネルギーの無限大発散や因果律の破綻よりも、異常統計における整合的量子化の核心的障壁であることが示される。

ABSTRACT

We reexamine the connection between spin and statistics through the quantization of a complex scalar field, using the formulation with the property that the hermitian conjugate of canonical momentum for a variable is just the canonical momentum for the hermitian conjugate of the variable. Starting from an ordinary Lagrangian density and imposing the anti-commutation relations on the field, we find that the difficulty stems from not the ill-definiteness (or unboundedness) of the energy and the breakdown of the causality but the appearance of states with negative norms. It is overcome by introducing an ordinary scalar field to form a doublet of fermionic symmetries, although the system becomes empty leaving the vacuum state alone. These features also hold for the system with a spinor field imposing the commutation relations on.

研究の動機と目的

• 非標準的な量子化規則を検討することで、ノルムの正定値性がスピン統計の定理において果たす基礎的役割を調査すること。
• スカラーフィールドに対して反交換関係を課すと、エネルギーの正定値性と因果律を保ちながらも不整合が生じる理由を明確にすること。
• フェルミオン的二重項を形成する双対スカラーフィールドを導入することで、負ノルム問題を解決する提言を行うこと。
• スピン統計の分析を、交換関係を用いて量子化されたスピノル場へと拡張し、類似の問題と解決法を特定すること。
• ボソン的およびフェルミオン的非ヒルベルト変数を併せ持つ系に対して、解析力学の明示的ヒルベルト性を備えた新しい定式化を構築すること。

提案手法

• 標準的な複素スカラーフィールドのラグランジアンから出発し、場の演算子に反交換関係を課す。
• 整合的量子化の主な障壁は、エネルギーの無限大発散や因果律の破綻ではなく、負ノルム状態の出現であると特定する。
• フェルミオン的対称性の下で二重項を形成するための第二の通常のスカラーフィールドを導入し、その結果、スペクトルが空となるが整合性が回復する。
• 同じ形式的枠組みを、交換関係で量子化されたスピノル場に適用し、類似の負ノルム問題を示す。
• 変数の正準運動量のヒルベルト共役が、そのヒルベルト共役変数の正準運動量に一致するような新しい解析力学の枠組みを構築し、混合ボソン的・フェルミオン的系における明示的ヒルベルト性を保証する。
• 不定計量を有するフォック空間を用いてノルム構造を解析し、整合性の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的量子場理論において、複素スカラーフィールドに反交換関係を課すとどのような結果が得られるか？
• RQ2 スカラーフィールドに反交換関係を課すと不整合が生じる理由は何か？ また、エネルギー、因果律、ノルムといった標準的仮定のうち、実際に破綻するのはどれか？
• RQ3 因果律やエネルギーの正定値性を損なわずに、このような系における負ノルム問題を解決できるか？
• RQ4 交換関係で量子化されたスピノル場（いわゆる「ボソン的スピンオルフィールド」）の振る舞いは、フェルミオン的スカラーフィールドとどのように異なるか？
• RQ5 フェルミオン的対称性二重項は、異常統計を持つ理論における整合性回復にどのような役割を果たすか？

主な発見

• フェルミオン的スカラーフィールドの整合的量子化の主な障壁は、エネルギーの無限大発散や因果律の破綻ではなく、負ノルム状態の出現にある。
• 負ノルム問題は、フェルミオン的対称性の下で二重スカラーフィールドを導入することで解決され、結果として整合的だが空な理論（唯一の状態は真空）が得られる。
• フェルミオン的スカラーフィールドと双対スカラーフィールドを併せ持つ系は、エネルギーの正定値性、因果律、ローレンツ不変性を満たすが、フェルミオン的対称性のためスペクトルは自明である。
• 交換関係で量子化されたスピノル場（「ボソン的スピンオルフィールド」）に対しても同様の負ノルム問題が生じ、双対スピンオルフィールドを導入し、反交換関係に従わせる事で解決される。
• 両方のフィールドを含む理論は、フェルミオン的対称性変換の不変性により、真空状態を保存するが、整合的かつ空な理論となる。
• 変数の正準運動量のヒルベルト共役が、そのヒルベルト共役変数の正準運動量に一致するような新しい解析力学の定式化が構築され、混合ボソン的・フェルミオン的系における明示的ヒルベルト性が保証される。