[論文レビュー] Fermionic Wave Functions on Unordered Configurations

Sheldon Goldstein, James O. Taylor+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Nフェルミオンの波動関数を、順序付き配置空間上の反対称関数としてではなく、無順序配置空間上のヘルミートベクトル束の切断として記述する、LeinaasとMyrheimの提案を数学的に正当化する。主な結果は、これらの切断によって定義される量子理論が、標準的な反対称波動関数形式と数学的に同等であるということであり、両者とも同一の量子三重項（ヒルベルト空間、ハミルトニアン、位置観測量）を生成する。

ABSTRACT

Quantum mechanical wave functions of N identical fermions are usually represented as anti-symmetric functions of ordered configurations. Leinaas and Myrheim proposed how a fermionic wave function can be represented as a function of unordered configurations, which is desirable as the ordering is artificial and unphysical. In this approach, the wave function is a cross-section of a particular Hermitian vector bundle over the configuration space, which we call the fermionic line bundle. Here, we provide a justification for Leinaas and Myrheim's proposal, that is, a justification for regarding cross-sections of the fermionic line bundle as equivalent to anti-symmetric functions of ordered configurations. In fact, we propose a general notion of equivalence of two quantum theories on the same configuration space; it is based on specifying a quantum theory as a triple $(\mathscr{H},H,Q)$ (``quantum triple'') consisting of a Hilbert space $\mathscr{H}$, a Hamiltonian $H$, and a family of position operators (technically, a projection-valued measure on configuration space acting on $\mathscr{H}$).

研究の動機と目的

• 無順序配置空間上のフェルミオンライン束の切断としてフェルミオン波動関数を表現することの数学的厳密な正当化を提供すること。
• 同一フェルミオンの波動関数における人工的な順序付けの問題を解消し、順序付き配置に依存しない形で記述すること。
• ヒルベルト空間、ハミルトニアン、位置観測量からなる量子三重項に基づく、量子理論の同等性に関する一般的な基準を確立すること。
• フェルミオンライン束によって定義される量子三重項が、順序付き配置空間上の標準的な反対称波動関数形式とユニタリ同値であることを証明すること。
• スピンや他の統計に一般化できるように、無順序配置空間上のヘルミートベクトル束を用いたフレームワークを構築すること。

提案手法

• 量子三重項を (H, H, Q) として定義する。ここで H はヒルベルト空間、H は自己共役ハミルトニアン、Q は配置空間上の位置観測量を表す射影値測度（PVM）である。
• ユニタリ同型がハミルトニアンおよび位置観測量を保存する場合に、量子三重項の同等性を定義し、物理的に区別できない理論を保証する。
• 無順序配置空間 $^{N}\mathbb{R}^{d}$ 上にフェルミオンライン束 F(N,d) を、置換群の符号表現によってフェルミオン統計を符号化するホロノミーを持つヘルミートベクトル束として構成する。
• 無順序配置空間 $\mathcal{Q} = {}^{N}\mathbb{R}^{d}$ の普遍被覆空間 $\widehat{\mathcal{Q}}$ を用い、基本群 $\pi_1(\mathcal{Q}, q)$ による群作用を定めた自明な束からの商構成により、束を構築する。
• フェルミオンライン束上の接続のホロノミーが置換群 $S_N$ の符号表現に一致することを示し、反対称性を符号化することを証明する。
• フェルミオンライン束の切断が、グローバル位相因子を除いて、$(\mathbb{R}^d)^N$ 上の反対称関数と一対一対応することを、標準的同型を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオンの波動関数は、順序付き配置に依存せずに、無順序配置空間上で一貫して定義可能か？
• RQ2 粒子のラベルに依存しない形で、フェルミオンの反対称性を記述するための数学的構造は何か？
• RQ3 異なるヒルベルト空間上に定式化された2つの量子理論が、物理的に同等と見なされるのはなぜか？
• RQ4 フェルミオンライン束によって定義される量子三重項は、標準的な反対称波動関数形式とユニタリ同値か？
• RQ5 無順序配置空間上のヘルミートベクトル束のホロノミーは、同一粒子の統計を再現できるか？

主な発見

• 無順序配置空間上のフェルミオンライン束 $^{N}\mathbb{R}^{d}$ は、$(\mathbb{R}^d)^N$ 上の反対称波動関数と数学的に一貫しており、物理的に同等なNフェルミオン量子力学の記述を提供する。
• フェルミオンライン束の切断は、グローバル位相因子を除いて、順序付き配置上の反対称関数と一対一対応する。
• フェルミオンライン束によって定義される量子三重項は、$(\mathbb{R}^d)^N$ 上の反対称$L^2$関数に定義された標準的な量子三重項とユニタリ同値である。
• フェルミオンライン束上の接続のホロノミーは、置換群$S_N$の符号表現に一致し、フェルミオン統計を符号化する。
• 適切なホロノミー表現を選択することにより、この構成は、任意ons（例えば任意ons）やスピンを含む系へ一般化可能である。
• 量子理論の同等性は、量子三重項のユニタリ同値性によって完全に特徴づけられ、同じ物理理論の異なる数学的記述を比較する一般枠組みを提供する。