[論文レビュー] Fermions, bosons, and locality in special relativity with two invariant scales

Dharam Vir Ahluwalia|ArXiv.org|Jun 30, 2002

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、光速$c$とプランク長さ$\lambda_P$という2つの不変スケールを持つ特殊相対性理論（SR2）において、フェルミオンとボソンのためのマスタ方程式を導入する。これは、ジューデス＝ヴィッサーの$(\epsilon, \pi)$に代わる正準共役変数$(\chi^0, \bm{\chi})$を定義することで、通常非線形かつ非局所的な理論においても線形性と局所性を回復する。主な結果は、標準時空$x^\mu$における非局所性が、新しい$\chi^\mu$変数において局所的になることである。この理論は、$\lambda_P$を介して内在的に量子重力効果を統合し、プランクスケール修正を施した分散関係と整合性のある場の量子化を可能にする、標準模型の量子重力的拡張を提供する。

ABSTRACT

We present a Master equation for description of fermions and bosons for special relativities with two invariant scales (c and lambda_P). We introduce canonically-conjugate variables (chi^0, chi) to (epsilon, pi) of Judes-Visser. Together, they bring in a formal element of linearity and locality in an otherwise non-linear and non-local theory. Special relativities with two invariant scales provide all corrections, say, to the standard model of the high energy physics, in terms of one fundamental constant, lambda_P. It is emphasized that spacetime of special relativities with two invariant scales carries an intrinsic quantum-gravitational character.

研究の動機と目的

• 2つの不変スケール（SR2）を持つ特殊相対性理論に内在する非局所性と非線形性、特にフェルミオンおよびボソン場の記述におけるそれらを解消すること。
• ジューディス＝ヴィッサーの$\eta_\mu$変数に対して正準共役な新たな時空変数$\chi^\mu$を導入することで、量子場理論における局所性と線形性を回復すること。
• 正準量子化とローレンツ不変性を保ちながら、プランクスケールの量子重力効果を組み込んだSR2の場の理論的枠組みを提供すること。
• すべての補正を、プランク長さ$\lambda_P$という1つの基本定数に集約することで、標準模型の高エネルギー物理学的枠組みを拡張すること。
• SR2が等価原理および重力に与える影響、特に$(j,j)$表現空間の構造を通じての影響を調査すること。

提案手法

• 非線形なブースト生成子が$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$代数を保存するように構成された、修正されたブーストパラメータ$\bm{\xi}$を用いて、SR2におけるフェルミオンおよびボソンのためのマスタ方程式を提案する。
• ジューディス＝ヴィッサーの$\eta_\mu$に対して正準共役な新たな時空変数$\chi^\mu = (\chi^0, \bm{\chi})$を導入し、局所的場の量子化形式を可能にする。
• 標準的な$x^\mu$依存指数関数の代わりに、$\chi^\mu$依存の平面波$e^{-i\eta_\mu \chi^\mu}$を用いて、場演算子$\Psi(\chi)$を導出する。
• スピンループ解$\psi_h(\bm{\eta})$を、指数関数的ブースト生成子$\exp(\bm{J} \cdot \bm{\xi})$を用いて構成し、SR1における標準ローレンツ変換を一般化する。
• $\chi^\mu$空間において、正準反交換関係$\{\Psi_i(\bm{\chi}, \chi^0), \Psi^\dagger_j(\bm{\chi}', \chi^0)\} = \delta^3(\bm{\chi} - \bm{\chi}') \delta_{ij}$を確立し、局所的量子化を確認する。
• カシミール不変量$\mu$を用いて、SR2におけるエネルギー運動量分散関係を定義し、$\mu$が$\lambda_P$、$m$、$E$の非線形関数として依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの不変スケールを持つ特殊相対性理論（SR2）における非局所的かつ非線形な理論が、どのように量子場のレベルで局所的かつ線形的に整合されるか。
• RQ2 標準的な$x^\mu$変数がSR2において非局所的であるのに対し、新たな時空変数$\chi^\mu$がどのように局所性を回復するか。
• RQ3 正準共役変数$\chi^\mu$と$\eta_\mu$が、プランクスケールにおける物理的時空構造とどのように関係するか。
• RQ4 プランクスケール修正が、SR2におけるフェルミオンおよびボソンの場の理論的量子化に与える影響は何か。
• RQ5 $\chi^\mu$の導入が、SR2における等価原理およびゲージ場・重力場の構造にどのように影響を与えるか。

主な発見

• ジューディス＝ヴィッサーの$\eta_\mu$に対して正準共役な$\chi^\mu$を導入することで、SR2におけるフェルミオンおよびボソンの場の量子理論において、標準的な$x^\mu$形式が示す本質的非局所性が回復され、局所的になる。
• 場演算子$\Psi(\chi)$は、$\chi^\mu$および$\eta_\mu$を用いて定義され、正準反交換関係$\{\Psi_i(\bm{\chi}, \chi^0), \Psi^\dagger_j(\bm{\chi}', \chi^0)\} = \delta^3(\bm{\chi} - \bm{\chi}') \delta_{ij}$を満たす。これにより、局所的量子化が確認される。
• SR2におけるフェルミオンのマスタ方程式は$\left(\gamma^{\mu\nu}\eta_\mu\eta_\nu + \tilde{\mu}^2\right)\psi(\bm{\pi}) = 0$で与えられ、$\tilde{\mu}$は$\zeta$およびカシミール不変量$\mu$に依存し、相対論的不変性を保証する。
• SR2におけるエネルギー運動量分散関係は$\lambda_P$によって修正され、$\cosh\xi$および$\sinh\xi$が$E$、$p$、$\lambda_P$の非線形関数として表現され、ド・ブロイ波長のプランクスケールでの飽和を保証する。
• 理論は、$\lambda_P$を介して内在的に量子重力を統合しており、これはブースト生成子および分散関係に基本的スケールとして現れ、高エネルギー物理学の補正において普遍的パrameterとなる。
• この枠組みは、プランクスケールにおける時空が自然に$x^\mu$ではなく$\chi^\mu$によって記述されることを示唆しており、量子重力における物理的時空事象の再定義を示唆している。