[論文レビュー] Feuilletages de degré trois du plan projectif complexe ayant une transformée de Legendre plate

Samir Bedrouni|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素射影平面における3次ホロモーフィックfoliationで、その双対ウェブ（レジェンドル変換により得られる）が平坦であるものの、余次元1のものについて考察する。代数幾何および特異点論を用いて、これらのfoliationを射影同値性の意味で分類し、そのモジュライ空間が正確に12個の既約成分を持ち、PGL₃(ℂ)の自己同型の下で正確に16個の異なる類に分類されることを証明する。

ABSTRACT

The set $\mathbf{F}(d)$ of foliations of degree $d$ on the complex projective plane can be identified with a Zariski's open set of a projective space of dimension $(d+2)^2-2$ on which acts $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}})$. The subset $\mathbf{FP}(d)$ of $\mathbf{F}(d)$ consisting of foliations of $\mathbf{F}(d)$ with a flat Legendre transform (dual web) is a Zariski closed subset of $\mathbf{F}(d)$. In this dissertation we study foliations of $\mathbf{FP}(d)$ and we try to better understand the topological structure of $\mathbf{FP}(3)$. First, we establish some effective criteria for the flatness of the dual $d$-web of a homogeneous foliation of degree $d$ and we describe some explicit examples. We will see also that it is possible, under certain assumptions, to bring the study of flatness of the dual web of a general foliation to the homogeneous framework. Second, we classify up to automorphism of $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ the elements of $\mathbf{FP}(3)$. More precisely, we show that up to automorphism there are $16$ foliations of degree $3$ with a flat Legendre transform. From this classification we deduce that $\mathbf{FP}(3)$ has exactly $12$ irreducible components.

研究の動機と目的

• PGL₃(ℂ)上の3次ホロモーフィックfoliationで、その双対ウェブが平坦であるものの、モジュライ空間の位相的・幾何的構造を理解すること。
• これらのfoliationをPGL₃(ℂ)の自己同型（射影同値性）の意味で分類すること。
• 特異点論および斉次foliation技法を用いて、双対ウェブの平坦性条件を分析すること。
• このようなfoliationのモジュライ空間FP(3)における既約成分の数を特定すること。
• 正規化および局所解析を用いた還元技法により、斉次foliationの結果を非斉次なものへ拡張すること。

提案手法

• PGL₃(ℂ)上の次数dのfoliationの空間F(d)を、次元(d+2)²−2の射影空間内のザリスキ開部分集合として特定する。
• F(d)の閉ザリスキ部分集合FP(d)を、そのレジェンドル双対ウェブが平坦であるfoliationの集合として定義する。
• ウェブ幾何およびブラーシェ曲率の技法を用いて、双対dウェブの平坦性を分析する。
• 局所的特異点の分類（例えば、サドルノード、ノルム型、コーン型）を用いて、特異点近傍での挙動を研究する。
• 正規化および局所解析を用いて、非斉次foliationの研究を斉次ケースへ還元する。
• PGL₃(ℂ)の作用および軌道分解を用いて、自己同型の意味でのfoliationの分類を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PGL₃(ℂ)の自己同型の下で、PGL₃(ℂ)上の3次foliationで、双対ウェブが平坦であるものは、いくつ存在するか？
• RQ2 特に既約成分の数に注目して、モジュライ空間FP(3)の位相的構造はどのようなものか？
• RQ3 非斉次foliationの双対ウェブの平坦性が、どのようにして斉次ケースへ還元可能か？その条件は何か？
• RQ4 3次foliationで双対ウェブが平坦である場合、どのような特異点（例えば、非退化、退化）が生じ得るか？
• RQ5 与えられたfoliationがPGL₃(ℂ)の作用下で生成する軌道の次元は何か？また、これとFP(3)の幾何的性質とはどのように関係するか？

主な発見

• PGL₃(ℂ)の自己同型の下で、双対ウェブが平坦である3次foliationは正確に16個存在する。
• このようなfoliationのモジュライ空間FP(3)は正確に12個の既約成分を持つ。
• 局所的特異点（サドルノード、ノルム型、コーン型）とその1次および2次ジェット不変量の分析により、分類が達成された。
• 双対ウェブの平坦性は、ブラーシェ曲率から導かれるある種の曲率不変量の消滅と同値である。
• 局所正規形および対称性の還元を用いて、非斉次foliationの研究が斉次ケースへ還元された。
• foliationのPGL₃(ℂ)による軌道の次元が6であることは、そのfoliationが非自明な自己同型を持たないときにかつそのときに限り成り立つ。これはFP(3)の一般的要素に成立する。