[論文レビュー] Fewer runs than word length

Maxime Crochemore, Robert Mercaş|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、語長 $ n $ の語におけるランの数が $ n $ より厳密に小さいことを示す、新しい証明を提示する。ランに辞書式順序を用いて一意な境界なしリンドン根接尾辞を割り当てることで、組合せ的議論に基づく上界の確立がなされ、ランが語長よりまれであるという予想を強化する。

ABSTRACT

The work takes another look at the number of runs that a string might contain and provides an alternative proof for the bound. We also propose another stronger conjecture that states that, for a fixed order on the alphabet, within every factor of a word there are at most as many occurrences of Lyndon roots corresponding to runs in a word as the length of the factor (only first such occurrences for each run are considered).

研究の動機と目的

• 語長 $ n $ の語におけるランの数が $ n $ より小さいことを、代替的で組合せ的な証明により提示し、長年の予想を確認すること。
• 辞書式順序または逆辞書式順序に基づいて、ランとその最大真部分接尾辞との間の一対一対応を確立すること。
• ランの密度を、境界なしリンドン根と二乗における臨界位置と関連付けることで分析すること。
• 特に二進語において、ランの最大密度を調査すること。
• 区間における $ \mathrm{Oroot} $（リンドン根の共役）の数の境界を、特に辞書式順序および逆順序において精緻化すること。

提案手法

• ランが右に大きい文字で拡張可能かどうかに応じて、それぞれのランに辞書式順序 $ < $ または逆辞書式順序 $ \widetilde{<} $ を用いて最大真部分接尾辞を割り当てる。
• 語内の各位置 $ k > 0 $ が、そのような割り当てられた接尾辞の開始位置として高々1回しか現れないことを証明し、単射性を保証する。
• 割り当てられた接尾辞が、ランの周期根の境界なし共役に対応することを用いる。この共役はリンドン語である。
• リンドン語がその回転の中で辞書式に最小であり、境界がないことを利用して、割り当てられた接尾辞の一意性を保証する。
• 二進語への応用において、$ \mathrm{Oroot} $ をその始まりの文字と順序に基づいて区別し、重複の性質を用いてその数を束縛する。
• 補題13（$ \mathrm{Oroot} $ の重複性の性質）を用いて、重複する $ \mathrm{Oroot} $ はネスト型または互いに素である必要があり、非一様な場合に限り長さの差が2以上であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語長 $ n $ の語におけるランの数が $ n $ より小さいという予想に対して、より単純または代替的な証明を与えることは可能か？
• RQ2 ランとそのリンドン根共役との間の構造的関係、特に接尾辞割り当ての観点から、どのようなものか？
• RQ3 長さ $ \ell $ の因子内に現れる $ \mathrm{Oroot} $（リンドン根共役）は最大でいくつ存在できるか？ また、その数を最大化する構成は何か？
• RQ4 $ \mathrm{Oroot} $ の重複およびネストの性質が、二進語における最大密度にどのような制約を課えるか？
• RQ5 特に、単一の順序（辞書式または逆辞書式）に制限した場合に、二進語の区間における $ \mathrm{Oroot} $ の数のより鋭い境界を確立できるか？

主な発見

• 任意の語長 $ n $ の語におけるランの数は、$ n $ より厳密に小さい。これは、ランとその最大接尾辞への一意な単射割り当てにより確認された。
• 各ランは、辞書式または逆辞書式順序に基づいて、その周期根の共役である境界なしリンドン語と一意に関連づけられる。
• 異なる2つのランが同じ開始位置を持つ最大接尾辞を割り当てられることはない。これにより単射性が保証され、上界の証明が成立する。
• 二進語では、長さ $ \ell $ の任意の区間には、同じ順序（辞書式または逆辞書式）で得られる $ \mathrm{Oroot} $ が高々 $ \frac{\ell - 1}{2} $ 個存在する。
• 因子における $ \mathrm{Oroot} $ の最大数は、$ a < b $ のもとで $ a(ab)^{(\ell-2)/2}b $ の形の因子である場合にのみ達成される（予想に基づく）。
• 非一様な $ \mathrm{Oroot} $ については、その数は $ \min\{|w|_{ab}, |w|_{ba}\} $ で抑えられ、一様なランについては、最大の一様ブロックごとに高々1つの追加 $ \mathrm{Oroot} $ が存在する。