[論文レビュー] Feynman Categories

Ralph M. Kaufmann, Benjamin C. Ward|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、演算、関係、パrameter化構造を統一する圏論的枠組みとしてFeynmanカテゴリを導入し、operads、PROPs、モジュラーoperads、および関連理論を一般化する。既知の構成をKan拡張として再解釈し、普遍的な操作、分解、Feynman変換を可能にする。モデル圏構造を確立することで、新しい例を導出し、多様な代数的・位相的構成を統一する。

ABSTRACT

In this paper we give a new foundational, categorical formulation for operations and relations and objects parameterizing them. This generalizes and unifies the theory of operads and all their cousins including but not limited to PROPs, modular operads, twisted (modular) operads, properads, hyperoperads, their colored versions, as well as algebras over operads and an abundance of other related structures, such as crossed simplicial groups, the augmented simplicial category or FI--modules. The usefulness of this approach is that it allows us to handle all the classical as well as more esoteric structures under a common framework and we can treat all the situations simultaneously. Many of the known constructions simply become Kan extensions. In this common framework, we also derive universal operations, such as those underlying Deligne's conjecture, construct Hopf algebras as well as perform resolutions, (co)bar transforms and Feynman transforms which are related to master equations. For these applications, we construct the relevant model category structures. This produces many new examples.

研究の動機と目的

• operads、PROPs、ねじれ付きoperadsなどの多様な代数的構造に対する統一された圏論的基盤を提供すること。
• 古典的な構成、例えば(co)bar変換やFeynman変換を、単一の枠組み内で一般化すること。
• operads上の代数や、FI-モジュラーやクロスドシンプレキシャル群といった関連構造を、同等の立場に置くこと。
• Deligneの予想に関連するものも含め、普遍的な操作の体系的導出を可能にすること。
• これらの一般化された代数的対象の分解と解析を可能にする、モデル圏構造の構築こと。

提案手法

• 演算と関係をパrameter化する対象を備えた圏論的枠組み—Feynmanカテゴリ—を形式化すること。
• Kan拡張を用いて、(co)bar変換や分解といった既知の構成を再解釈すること。
• 圏論的構造を通じて普遍的な操作を定義し、Deligneの予想の背後にあるものも含めて一般化すること。
• フレームワークの普遍的性質を用いてホップ代数を構成し、Feynman変換を実行すること。
• Feynmanカテゴリにモデル圏構造を構築し、ホモトピー論的代数と分解技術を可能にすること。
• フレームワークを応用して、新しい例を導出し、モジュラーoperadsやハイパーロペラスのようなばらばらな構造を統一すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 operadsおよびその類縁構造は、どのように単一の圏論的枠組みに統合できるか？
• RQ2 どのような圏論的構成が、多様な代数的理論にわたって(co)bar変換やFeynman変換を一般化するか？
• RQ3 Deligneの予想に現れるような普遍的な操作は、この設定でどのように自然に生じるか？
• RQ4 Feynmanカテゴリにモデル圏構造を構築することで、ホモトピー論的分解を支援できるか？
• RQ5 この一般化された枠組みから、どのような新しい代数的構造の例が得られるか？

主な発見

• フレームワークは、operads、PROPs、モジュラーoperads、properads、ハイパーロペラスを、単一の圏論的構成で統一する。
• (co)bar変換や分解といった既知の構成が、フレームワーク内でのKan拡張の例として示される。
• Deligneの予想に関連するものも含め、普遍的な操作が圏論的構造から体系的に導出される。
• Feynman変換や関連するマスターエンジンは、フレームワークの普遍的性質によって自然に符号化される。
• Feynmanカテゴリにモデル圏構造が構築され、ホモトピー論的代数と分解技術が可能になる。
• フレームワークは、かつて単一の理論で統一されていなかった、新しい代数的構造の例を生み出す。