[論文レビュー] Feynman Diagrams and Rooted Maps

Andrea Prunotto, W.M. Alberico+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

advanced mathematical theories参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多体量子理論におけるファインマン図とトポロジカルグラフ理論におけるルート付きマップの間で直接的な図的対応関係を確立し、単粒子伝播関数の連結ファインマン図の新たな数え上げ法を可能にする。各図をルート付きマップに写像することで、マップの位相に基づく genus の定義を導出し、各摂動順序における図の数が同じ辺数を持つルート付きマップの数と一致することを示し、高次計算に向けた強力な組合せ論的道具を提供する。

ABSTRACT

The Rooted Maps Theory, a branch of the Theory of Homology, is shown to be a powerful tool for investigating the topological properties of Feynman diagrams, related to the single particle propagator in the quantum many-body systems. The numerical correspondence between the number of this class of Feynman diagrams as a function of perturbative order and the number of rooted maps as a function of the number of edges is studied. A graphical procedure to associate Feynman diagrams and rooted maps is then stated. Finally, starting from rooted maps principles, an original definition of the genus of a Feynman diagram, which totally differs from the usual one, is given.

研究の動機と目的

• 多体系における単粒子伝播関数のファインマン図を、ルート付きマップに写像する体系的な図的手順を確立すること。
• 高次の摂動順序における連結ファインマン図の数え上げという組合せ論的課題を解決すること。
• ルート付きマップ理論に基づいて、従来の genus 定義とは異なる、新たな位相的根拠に基づくファインマン図の genus の定義を導入すること。
• 各摂動順序における異なるファインマン図の数が、同じ辺数を持つルート付きマップの数と一致することを示し、深い組合せ論的同型性を明らかにすること。

提案手法

• 摂動順序 m におけるすべての位相的に異なるファインマン図を生成するための図的構成規則を定義し、低次の図の伝播線のすべての可能な位置に相互作用頂点（タブールやシェル）を追加する。
• 最初の「シェル」および「タブール」図から出発し、既存の線に沿ったすべての可能な点に新しい頂点を挿入することで、高次の図を体系的に構築する。
• 位相的同値性は平面における連続的変形によって決定され、対称性に起因する重複図はフェインマンの第一法則に従い破棄される。
• 各ファインマン図を一意なルート付きマップに対応付けることで、ファインマン図とルート付きマップの対応関係を形式化する。ここで、ルート辺は初期状態および最終状態の線に対応する。
• ルート付きマップの原理に基づき、ファインマン図の genus を再定義する。これは、図の表面埋め込みの標準的位相的 genus ではなく、関連するマップの genus に基づく。
• 摂動順序 m における「シェル」図の数は、トゥーシャードの公式 (2m−1)!! を用いて計算され、これは同じ辺数を持つルート付きマップの数と一致することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の摂動順序において、多体系における単粒子伝播関数のすべての位相的に異なるファインマン図を生成する体系的な図的手続きを開発できるか？
• RQ2 ファインマン図の数とルート付きマップの数との間に、辺数をパrameterとする明確な組合せ的対応関係が存在するか？
• RQ3 ルート付きマップ理論を用いて、ファインマン図の genus をどのように再定義できるか。また、これは従来の位相的 genus とはどのように異なるか？
• RQ4 位相的同値性と対称性は、ファインマン図の数え上げにおいて果たす役割は何か。また、それをアルゴリズム的にどのように強制できるか？
• RQ5 既知のシェル図の公式 (2m−1)!! は、ルート付きマップの数え上げによって導出可能で解釈可能か？

主な発見

• 摂動順序 m における単粒子伝播関数の位相的に異なるファインマン図の数は、正確に m 条の辺を持つルート付きマップの数と一致し、強い組合せ論的同型性を確立する。
• 2次では、構成手順により10個の異なる図が得られ、既知の数え上げと一致し、この方法の正しさが裏付けられる。
• 3次では、15個の「シェル」図と、タブールおよびシェルの挿入から得られる59個の追加図が生成され、合計74個の異なる図が得られる。
• 摂動順序 m における「シェル」図の数は、トゥーシャードの公式 (2m−1)!! で与えられ、これはルート付きマップの数え上げによって導出され、確認された。
• ファインマン図の genus は、その対応するルート付きマップの genus として再定義され、従来の定義とは異なる、数学的に厳密な位相的不変量を提供する。
• 図的構成法は重複を生成するが、連続的変形による同値性に基づき、体系的に位相的に同値な図を除去できることから、正確な数え上げが保証される。