[論文レビュー] Feynman integrals and hyperlogarithms

Erik Panzer|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2015

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ひとこと要約

本稿では、超対数関数を用いて質量ゼロの3点および4点のフェルミオン積分を厳密に評価するフレームワークを確立し、標準的な多重ゼータ値を超えるすべての積分が、ε展開のすべての次数において多重多対数関数の線形結合として表現可能であることを証明している。著者らは特異点を追跡するための新規アルゴリズムを導入し、それをMapleパッケージHyperIntに実装することで、複雑な図式の正確な計算が可能になった。特に、多重ゼータ値として表現できないが、原始的6乗根の単位根における多重多対数関数の線形結合（√3で除算）として表される、質量ゼロのφ⁴理論における最初の既知の補正項が得られた。

ABSTRACT

We study Feynman integrals in the representation with Schwinger parameters and derive recursive integral formulas for massless 3- and 4-point functions. Properties of analytic (including dimensional) regularization are summarized and we prove that in the Euclidean region, each Feynman integral can be written as a linear combination of convergent Feynman integrals. This means that one can choose a basis of convergent master integrals and need not evaluate any divergent Feynman graph directly. Secondly we give a self-contained account of hyperlogarithms and explain in detail the algorithms needed for their application to the evaluation of multivariate integrals. We define a new method to track singularities of such integrals and present a computer program that implements the integration method. As our main result, we prove the existence of infinite families of massless 3- and 4-point graphs (including the ladder box graphs with arbitrary loop number and their minors) whose Feynman integrals can be expressed in terms of multiple polylogarithms, to all orders in the epsilon-expansion. These integrals can be computed effectively with the presented program. We include interesting examples of explicit results for Feynman integrals with up to 6 loops. In particular we present the first exactly computed counterterm in massless phi^4 theory which is not a multiple zeta value, but a linear combination of multiple polylogarithms at primitive sixth roots of unity (and divided by $\sqrt{3}$). To this end we derive a parity result on the reducibility of the real- and imaginary parts of such numbers into products and terms of lower depth.

研究の動機と目的

• 量子場理論における発散するフェルミオン積分を評価するための体系的かつ一貫した手法を、解析的正則化とパラメトリック表現を用いて開発すること。
• ユークリッド領域におけるすべての質量ゼロの3点および4点積分が、発散するグラフを直接評価することなく収束するマスターリンテグラルに還元可能であることを確立すること。
• 統合、特異点の追跡、解析接続を含むアルゴリズムを備えた、超対数関数の自己完結的理論を提供すること。
• ラダーボックスグラフおよびそのマイナーの無限族が、ε展開のすべての次数において多重多対数関数として表現可能であることを証明すること。
• 本手法をHyperInt Mapleパッケージに実装し、具体的な結果を計算すること、特に質量ゼロのφ⁴理論における新規な補正項を含むこと。

提案手法

• フェルミオン積分を単体領域上のパラメトリック積分として表現するため、シュヴィンガー媒介変数表現を用いる。
• スパニングフォレスト多項式から導かれる再帰的積分公式を適用し、複雑な積分をより単純な成分に還元する。
• 対数的特異点を持つ反復積分としての超対数関数の新規な形式を導入し、シャッフル代数と接ベクトル基点を用いる。
• 積分路に沿った特異点の追跡アルゴリズムを開発し、ピンチングや発散極限の正則化を含む。
• 記号的積分、ε展開、多項式の因数分解を実行するコンピュータ代数システム（HyperInt）を実装する。
• 適合性グラフと線形還元性基準を用いて、積分が多重多対数関数に還元可能かどうかを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド領域におけるすべての質量ゼロの3点および4点フェルミオン積分は、収束するマスターリンテグラルの線形結合として表現可能か？
• RQ2 ラダーボックスグラフおよびそのマイナーのフェルミオン積分が、ε展開のすべての次数において多重多対数関数に還元可能となる条件は何か？
• RQ3 多変数超対数関数的積分における特異点は、統合の過程でどのように体系的に追跡・正則化可能か？
• RQ4 単位根で評価された多重多対数関数が生成する数体系の構造は何か？また、その実部と虚部はどのように分解可能か？
• RQ5 HyperIntパッケージは、多重ゼータ値として表現できない図式に対しても、高ループ図式の正確な結果を計算可能か？

主な発見

• 本稿では、ユークリッド領域におけるすべての質量ゼロの3点および4点フェルミオン積分が、収束するマスターリンテグラルの線形結合として表現可能であることを証明しており、発散するグラフを直接評価する必要がなくなる。
• 任意のループ数を持つラダーボックスグラフおよびそのマイナーの無限族が、ε展開のすべての次数において多重多対数関数として表現可能であることが示された。
• 質量ゼロのφ⁴理論における、多重ゼータ値として表現できない最初の正確な補正項が計算された：これは原始的6乗根の単位根における多重多対数関数の線形結合（√3で除算）として表される。
• パリティの結果が得られ、このような数の実部および虚部は、低深さの項や積の形に還元できないことが示され、それらの非可約性が裏付けられた。
• 6ループまで図式の明示的結果が提供され、HyperIntパッケージが高ループ振幅の計算において実用的に有効であることが示された。