[論文レビュー] Feynman-Kac formula for Lévy processes with discontinuous killing rate

Kathrin Glau|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、不連続な殺傷率を有する時不均一な Lévy 確率過程によって駆動される放物型発展方程式の変分的解について、きめ細やかな Feynman-Kac 表現を確立する。Sobolev-Slobodeckii 空間における弱解理論を活用し、生成子の記号に関する連続性および成長条件を証明することで、一般化された双曲的および正規逆ガウス過程を含む Lévy モデルにおける高速な決定的オプション評価のための数学的に整合性のある基盤を提供する。

ABSTRACT

The challenge to fruitfully merge state-of-the-art techniques from mathematical finance and numerical analysis has inspired researchers to develop fast deterministic option pricing methods. As a result, highly efficient algorithms to compute option prices in Lévy models by solving partial integro differential equations have been developed. In order to provide a solid mathematical foundation for these methods, we derive a Feynman-Kac representation of variational solutions to partial integro differential equations that characterize conditional expectations of functionals of killed time-inhomogeneous Lévy processes. We allow for a wide range of underlying stochastic processes, comprising processes with Brownian part, and a broad class of pure jump processes such as generalized hyperbolic, multivariate normal inverse Gaussian, tempered stable, and $α$-semi stable Lévy processes. By virtue of our mild regularity assumptions as to the killing rate and the initial condition of the partial differential equation, our results provide a rigorous basis for numerous applications, not only in financial mathematics but also in probability theory and relativistic quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 時不均一な Lévy 確率過程に不連続な殺傷率を伴う条件付き期待値の数学的に厳密な Feynman-Kac 表現を確立すること。
• 殺傷率および初期データの最小限の正則性条件を特定することで、確率過程と決定的偏積分微分方程式（PIDE）の間のギャップを埋めること。
• 特にジャンプを伴い、滑らかでないペイオフ構造を持つモデルにおける高速な決定的オプション評価手法の理論的基盤を提供すること。
• 一般特性を有する Lévy 確率過程から生じる非局所的作用素および擬微分作用素を含む、古典的 Feynman-Kac 框組みを拡張すること。
• 変分的解の存在および一意性を証明することで、Galerkin スキームが得られる PIDE の数値解法に有効であることを検証すること。

提案手法

• Sobolev-Slobodeckii 空間における変分的手法を用いて、不連続な殺傷率を有する時不均一な PIDE の弱解に対する Feynman-Kac 型表現を導出する。
• 関連する双線形形式の強制性および有界性を保証するため、Lévy 生成子の記号に関する連続性および成長条件を確立する。
• ヒルベルト空間における放物型発展方程式の理論を応用し、PIDE の変分的解の存在および一意性を証明する。
• フーリエ解析および記号の複素拡張を用いて、生成子の解析性および複素領域における連続性を特徴付ける。
• 双線形形式の区分的連続性が記号の区分的連続性をもたらすことを証明し、発展方程式の適切な定式化に不可欠な解作用素の正則性を保証する。
• PIDE の数値解法としてガレルキン法を実装し、殺傷率がオプション価格に与える影響を数値実験を通じて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続な殺傷率を有する時不均一な Lévy 確率過程の関数的条件付き期待値に対して、どのような条件下で Feynman-Kac 表現が成立するか？
• RQ2 殺傷率が不連続で生成子が非局所的である場合、確率過程と PIDE 間の関係をどのように厳密に確立できるか？
• RQ3 関連する PIDE の変分的解の存在および一意性を保証するための殺傷率および初期条件の最小限の正則性仮定は何か？
• RQ4 金融デリバティブ評価の文脈において、PIDE の解が条件付き期待値としてどのように解釈できるか？
• RQ5 生成子の記号の性質（例：連続性、成長）が、PIDE の適切な定式化および Feynman-Kac 公式の有効性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 不連続な殺傷率を有する PIDE の変分的解に対して、きめ細やかな Feynman-Kac 表現が確立され、古典的結果が滑らかでないおよび非マルコフ的状況へと拡張された。
• 殺傷率および初期条件に対する弱い正則性仮定のもとで、Sobolev-Slobodeckii 空間における解の存在および一意性が証明された。
• 生成子の記号に関する連続性および成長条件（例：正規逆ガウス過程やトメッド安定過程）が、双線形形式の強制性および有界性を保証するのに十分であることが示された。
• 双線形形式の区分的連続性が記号の区分的連続性をもたらすことが証明され、発展方程式の適切な定式化に不可欠な性質が得られた。
• ガレルキン法が PIDE の数値解法に成功裏に適用され、殺傷率の影響が数値実験を通じて明確に示された。
• 本フレームワークは、一般化された双曲的、多変量正規逆ガウス、トメッド安定、および α-半安定過程を含む広範な Lévy 確率過程クラスをカバーできる。