[論文レビュー] Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson model

Oliver Matte, Jacob Schach Møller|VBN Forskningsportal (Aalborg Universitet)|Jan 10, 2017

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、カトー分解可能外部ポテンシャルを有する紫外線正則化ネルソンハミルトニアンに対して、ファインマン・アッカ公式を確立し、質量ありおよび質量なしのボソンを扱う。非フォック表現における摂動論的でない正則化ハミルトニアンをファインマン・アッカ半群を用いて構成し、スペクトルが $-C\mathfrak{g}^4N^3$ で下から有界であることを証明するとともに、パウリの排他原理の下で正値性を保つ性質を検証する。

ABSTRACT

We derive Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson Hamiltonian with a Kato decomposable external potential and for corresponding fiber Hamiltonians in the translation invariant case. We simultaneously treat massive and massless bosons. Furthermore, we present a non-perturbative construction of a renormalized Nelson Hamiltonian in the non-Fock representation defined as the generator of a corresponding Feynman-Kac semi-group. Our novel analysis of the vacuum expectation of the Feynman-Kac integrands shows that, if the external potential and the Pauli-principle are dropped, then the spectrum of the $N$-particle renormalized Nelson Hamiltonian is bounded from below by some negative universal constant times $g^4N^3$, for all values of the coupling constant $g$. A variational argument also yields an upper bound of the same form for large $g^2N$. We further verify that the semi-groups generated by the ultra-violet renormalized Nelson Hamiltonian and its non-Fock version are positivity improving with respect to a natural self-dual cone, if the Pauli principle is ignored. In another application we discuss continuity properties of elements in the range of the semi-group of the renormalized Nelson Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 紫外線正則化ネルソンハミルトニアンに対して、カトー分解可能外部ポテンシャルを有する厳密なファインマン・アッカ公式を導出すること。
• ファインマン・アッカ公式を用いて、非フォック表現における摂動論的でない正則化ハミルトニアンをファインマン・アッカ半群の生成子として構成すること。
• N粒子正則化ハミルトニアンのスペクトル的性質、特にその下界を分析すること。
• パウリの排他原理が成立しない状況において、半群が自己双対錐に関して正値性を保つ性質を確立すること。
• 正則化ハミルトニアンの半群の像に属する要素の連続的性質を調査すること。

提案手法

• 経路積分表現を用いて、紫外線正則化ネルソンハミルトニアンのファインマン・アッカ公式を導出する。
• 非摂動的半群アプローチを用いて、ファインマン・アッカ公式を通じて非フォック表現におけるハミルトニアンを定義する。
• ファインマン・アッカ被積分の真空期待値を分析し、スペクトル境界を導出する。
• 変分的議論を用いて、$\mathfrak{g}^4N^3$ のオーダーで、地面状態エネルギーの上界および下界を確立する。
• ペロン＝フロベニウス型の議論を適用し、パウリの排他原理が成立しない状況で、半群の正値性を保つ性質を証明する。
• スペクトル計算および測度論的密度の議論を活用し、スペクトルの下限をスペクトル測度の台と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カトー分解可能ポテンシャルを有する紫外線正則化ネルソンハミルトニアンに対して、ファインマン・アッカ公式を厳密に導出可能か？
• RQ2 パウリの排他原理が成立しない状況において、N粒子正則化ネルソンハミルトニアンのスペクトル的挙動はいかなるものか？
• RQ3 地面状態エネルギーは結合定数 $\mathfrak{g}$ および粒子数 $N$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 ファインマン・アッカ半群を用いて、摂動論的でない非フォック表現の正則化ハミルトニアンを構成可能か？
• RQ5 正則化ハミルトニアンによって生成される半群が、どのような条件下で正値性を保つ性質を示すか？

主な発見

• N粒子正則化ネルソンハミルトニアンのスペクトルは、すべての結合定数 $\mathfrak{g}$ に対して、$\mathfrak{g}^4N^3$ に比例する負の普遍定数倍で下から有界である。
• 変分的議論により、$\mathfrak{g}^2N$ が大きい場合に、同じオーダー $\mathfrak{g}^4N^3$ の上界が得られ、スケーリングの挙動が確認された。
• パウリの排他原理を無視した状況において、紫外線正則化ハミルトニアンによって生成される半群は、自然な自己双対錐に関して正値性を保つ。
• 非フォック表現における正則化ハミルトニアンは、ファインマン・アッカ半群の生成子として構成され、非摂動的実現が得られた。
• 半群の像に属する要素の連続的性質が確立され、動的性質の正則性が支持された。
• 正値性および密度の議論を用いて、スペクトルの下限をスペクトル測度の台および半群の長時間挙動と関連付けることで、その特徴づけがなされた。